リーマン和について

質問

下記のサイトでリーマン和について説明していますが、いまいち理解できません。区分求積法は区間[a,b]をn等分して帯の幅を全て同じ幅として、ｎ→∞とすれば面積になるのは理解できますが、リーマン積分は「一番広い幅の区間を0に近づける」のこの部分が納得できません。一番広い幅と一番狭い幅の区間が極端に違う時、一番狭い幅が0に限りなく近くなったら、一番広い幅はもう小さくなれないのではないかと思います。どなたか詳しく教えていただけないでしょうか？

http://www.tokyomaths.com/Pages/m_021_1_jp_riemann.aspx

回答No.2

tmpname · ベストアンサー

> 区分求積法との違いは、y=f(x)のグラフをxについて
> 適当な幅〈等分でない〉で切ってできたxi-x(i-1)の
> 幅に対して、x(i-1)≦t≦xiを満たすtをどのように
> とってもよく、それに対応してf(t)を決めてもよい
> ということですよね

そういう事です。その上で、「最も広い幅の区間の
幅」を小さくする為に、区分求積法と同じく結局分割
数をどんどん増やしていくのです。

お礼

大変参考になりました。回答ありがとうございました。

回答No.1

tmpname

うむ、つまり
> 区分求積法は区間[a,b]をn等分して
> 帯の幅を全て同じ幅として、ｎ→∞とすれば
と言っているように、区分求積法では分割数を
増やしますよね。

一般のリーマン和の時も同じです。つまり
最も広い幅の区間の幅を小さくするには、結局
分割数を増やす訳です
（実際分割数を増やさないと最も広い幅の
区間の幅は減らせません）。
その上で、いくら全体の分割数を増やしても
そういう「一番広い幅と一番狭い幅の区間が極端に
違う」ものを考えると一番広い区間の幅は
小さくならないので、「そういう変な分割法は
考えない」のです。

補足

なるほど！では区分求積法との違いは、y=f(x)のグラフをxについて適当な幅〈等分でない〉で切ってできたxi-x(i-1)の幅に対して、x(i-1)≦t≦xiを満たすtをどのようにとってもよく、それに対応してf(t)を決めてもよいということですよね？つまり区分求積法でn等分したとしても結局y=f(x)とn分割した棒グラフとの誤差があるので同じことという考え方でよろしいでしょうか？