区分求積法の計算について

質問

区分求積法を用いた積分の解き方について、ご教授お願いします。
途中まで解いたのですが、このあとどうすればいいかわかりません。
わかる方、ご指導宜しくおねがいします。

【問題】
閉区間[1,3]をn等分して得られる分割を考え、
定積分の定義にしたがって(区分求積法を用いて)、次の計算をせよ。

∫[1→3] (2x+1) dx

【自分の答え】
1～n番目までn個に分割した時のk番目の微小面積を合計する。
k番目のx座標(=微笑面積のx座標)は、
1+(2/n)*(k-1)と表すことができる。

よって、k番目の微小面積は
(2 * ( 1 + (2(k-1)/n)) + 1) * (2/n)

これを、1～n番目まで足し合わせるので、
Σ[k=1～n] (2 * ( 1 + (2(k-1)/n)) + 1) * (2/n)

これのn→∞の場合を計算する。
区分積分法の基本公式
∫[0→1]{ f(x) }dx = lim[n→∞]{n*Σ[k=1～n] {f(k/n)}}より、
∫[1→3]{ 2x+1 }dx = lim[n→∞]{Σ[k=1～n] (2 * ( 1 + (2(k-1)/n)) + 1) * (2/n)}

※ここから、どう計算をおこなえばいいかわかりません。
　Σを展開すればいいとは思うですが。。。

以上、ご指導のほど、よろしくお願いします。

回答No.1

masa072 · ベストアンサー

Σ計算でいいですよ。
Σ計算の注意事項として，Σはkについての和を求めるものですから，k以外は定数です。即ちnは定数扱いで計算します。

お礼

アドバイスありがとうございます。
kとnが出てきたので、ごっちゃにして考えてしまってました。
ありがとうございました。