区分求積法と和の極限について

質問

積分演算でグラフ上の面積を導出する説明に、区分求積法というものがあります。
この区分求積法と積分の関係を応用して、

lim(x→∞)Σ(k=1→n){(n+k)/n^4}^-3
のような極限値を求める方法があります。

上式であれば、x=k/n^3とみなして、
Σの中身を
(1/n)(1+x)と変換し、
∫(1-0){1+x}^-3の式の結果として、
{3(2)^(1/3)}/2 - 3/4　といった結果を得るわけです。

この変換と計算結果自体は良いのですが、

上記計算で便宜上用いたxy平面上のグラフは
一体どんなグラフで、どんな面積を求めているのでしょうか?

代数学は、現象を代数化し、抽象化することで、経過を飛ばして結果を得ることのできる学問だ、とは理解しているものの、どうにもこの部分がすっきりと頭に入ってこず、気持ち悪い思いをしております。

どなたかご教授願います。

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

#3,#4です。

A#4の補足での訂正後の式での回答

>lim(x→∞)Σ(k=1→n){(n+k)/n^4}^(1/3)です。
lim(n→∞)　でしょう。

>それと、式中の変換は、
>(1+k/n)^1/3を(1+x)に変換ですね。

(1+k/n)^(1/3)は区分求積法の定積分の中の被積分関数（1+x)^(1/3）に置き換えられます。

lim(n→∞)Σ(k=1→n){(n+k)/n^4}^(1/3)
=lim(n→∞) (1/n)Σ(k=1→n){(n+k)(n^3)/n^4}^(1/3)
=lim(n→∞) (1/n)Σ(k=1→n){(n+k)/n}^(1/3)
=lim(n→∞) (1/n)Σ(k=1→n){1+(k/n)}^(1/3)

区分求積法の右端型の積分の定義を適用すると
f(x)=(1+x)^(1/3)を積分区間[0,1]の定積分になるから

=∫[0,1] (1+x)^(1/3) dx
=[(3/4)(1+x)^(4/3)] [0,1]
=(3/4){(2^(4/3))-1}
=(3/4){2*2^(1/3)-1}
=(3/2)(2^(1/3))-(3/4)

となりますね。

お礼

書き損じの質問にも丁寧にご回答いただき、ありがとうございます。
その後、区分求積法を勉強しなおし、ご指摘が理解できました。
ありがとうございました。

回答No.6

alice_44

いや、計算したい limΣ をリーマン和と解釈
することができさえすれば、区分求積法にはなる。
区分求積が何だかをちゃんと理解していれば、
x=k/n に限る理由は何もない。

質問の場合、x=k/nnn では、仮に
区分求積の形に変形できたとしても、
積分区間が [0,0] になってしまうから、
上手くいかないことが判る。

回答No.4

info22_

#3です。

A#3で修正した区分求積法の式での積分は右端型の区分求積法の定義式であり、

関数y=f(x)=1/(1+x)^3をx=0から1までを積分するものです。

添付図のy=1/(1+x)^3のグラフにおける黄色の領域の面積＝3/8を求めていることに
なります。

補足

すみません。与式をものすごい勢いで書き間違えてました。
lim(x→∞)Σ(k=1→n){(n+k)/n^4}^1/3です。
それと、式中の変換は、
(1+k/n)^1/3を(1+x)に変換ですね。

あわてて書いてしまったので、色々間違っています。
落ち着いてもう一度質問しなおします。大変失礼をいたしました。

回答No.3

info22_

>lim(x→∞)Σ(k=1→n){(n+k)/n^4}^-3
この式、間違ってませんか？
滅茶苦茶な式です。

>上式であれば、x=k/n^3とみなして、
滅茶苦茶な置き換えです。
置き換えはx=k/nと決まっています。

>Σの中身を
>(1/n)(1+x)と変換し、
と変換できません。

>∫(1-0){1+x}^-3 の式の結果として、
∫[0,1] {1/(1+x)^3} dx
だとしても

>{3(2)^(1/3)}/2 - 3/4　といった結果を得るわけです。
とはなりませんよ。

>この変換と計算結果自体は良いのですが、
間違いに間違いを重ねていて、こういうことが断言できるのでしょう？

おそらく問題の式は
lim(n→∞)Σ(k=1→n){(n+k)^(-3)}n^2
ではないでしょうか？

そうであれば
=lim(n→∞)(1/n)Σ(k=1→n) {(n+k)^(-3)}n^3
=lim(n→∞)(1/n)Σ(k=1→n) {(n/(n+k))}^3
=lim(n→∞)(1/n)Σ(k=1→n) 1/{1+(k/n)}^3
これは関数f(x)=1/(1+x)^3 を　x=0から1まで積分する定積分の定義（区分求積法）そのものであるから
=∫[0,1] 1/(1+x)^3 dx
=[-(1/2)/(1+x)^2] [0,1]
=(1/2)-(1/8)
=3/8
というような計算結果になります。

回答No.2

alice_44

グラフの解釈以前に、区分求積が全くできていない。
limΣ を ∫ に変形する部分も、その先の ∫ の計算も
メタクタだけれど、何を間違うとこうなるんだろう…
-3 乗が何だか分からないとかかな？

回答No.1

spring135

微分積分は解析学の範疇で代数学では副次的に使うことはあっても主役ではありません。
解析学は数の連続性に基礎を置いた数学であって、代数学とは根本的に違います。

ともあれ、計算がめちゃくちゃですね。

＞上式であれば、x=k/n^3とみなして、

区分求積法は積分範囲を有限なｎコに分割してその短冊状の面積を足し合わせて近似値を出し、分割を無限大にした時の極限として積分値を求めるものでx=k/nです。

＞上記計算で便宜上用いたxy平面上のグラフは
一体どんなグラフで、どんな面積を求めているのでしょうか?

グラフも知らずに面積を求めるというのは根本的な間違いです。

＞代数学は、現象を代数化し、抽象化することで、経過を飛ばして結果を得ることのできる学問だ、とは理解しているものの

どういう意味か解りませんが結果的に完全に間違っています。

基礎からやり直してください。