0≦x≦1 ，y = 2^x のグラフを使った面積の求め方が判りません。

質問

導関数を習ったばかりの高専2年生です。

D{(x,y) | 0≦x≦1 , 0≦y≦2^x}の面積を
グラフを使って求める方法が判りません。

閉区間{0≦x≦1}を100等分して長方形の面積の和として求めようかと思っていますが、あっているかわかりません。

できるだけ正確な値が求められる方法は何か無いでしょうか？

回答No.1

shkwta · ベストアンサー

ご質問の「グラフを使って」の意味がわかりません。
何をする課題なのか、すでに習ったことや、授業での説明から《先生の意図》を推定できませんか？
それとも、他のことと無関係にポンとこの課題が与えられたのでしょうか？

--------------------
「グラフを使って」という言葉をそのまま正直に受けとると、「とにかく紙にグラフを描いて、できたグラフから面積を求める」ということになりそうです。その場合は

(1)プラニメーター（面積計）という器械を使って面積を測る。
(2)厚めの紙を使い、グラフを切り抜いて、電子天秤で質量を測定。同じ紙に描いた正方形などと質量を比較する。
(3)方眼紙にグラフを描いて方眼の数を数える。

といった方法が考えられます。
-----------------------
＞閉区間{0≦x≦1}を100等分して長方形の面積の和
ご質問のこの方法は数値積分法といいます。

(1)長方形を作るとき、x=0, 0.01, 0.02, … ではなく、各区間の中点を使ってx=0.005, 0.015, 0.025, …に対するyを長方形の高さにすると精度が高くなります。この方法を中点公式といいます。

(2)グラフを折れ線で近似すると、各区間は長方形ではなく、カッターナイフの刃の形のような台形になります。台形の面積の和で全体の面積を求める方法を、台形公式といいます。

(3)中点公式の結果を２倍して、台形公式の結果を加え、３で割ると誤差が打ち消しあって高精度になります。この方法をシンプソンの公式といいます。

--------------
数学的には、もちろん定積分を求めるのが厳密です。

S = ∫[0→1] e^(kx) dx, k = log 2

S:面積 e:自然対数の底 k:2の自然対数

回答No.2

pyon1956

グラフを使うやり方のひとつは、グラフ用紙にy=2^xのグラフを描きます。
方眼紙がいいです。100等分だと横10cm、縦20cmぐらいの範囲にグラフが描かれると思いますが、
１．グラフが横切っているマス目はすべて面積が1ますの半分（0.5ます）と計算する。
２．グラフより下、x軸との間にあってグラフが横切っていないマス目は１ますと数える。
すると面積は
（１．および２．で求めた総マス数）×（1万分の1）
です。
1万分の1は1マスの面積ですね。
たぶんこのやりかたを習うと思います。