平均値の定理 区分求積法

質問

平均値の定理
区分求積法

あるサイトで見てそのまま写したのですが、
平均値の定理が
関数f(x)が閉区間[a,b]で連続で開区間(a,b)で微分可能の時、
f(b)-f(a) / b-a
=f'(c) (a<c<b)
をみたすcが少なくとも1つは存在する。
ということは、
このckの範囲内にckが1つとは限らないということですよね。
そうすると、ckの幅はバラバラになり、区分求積法ができなくなることはありませんか。

回答No.6

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

> 昨日、授業での問題でとても似たのがあったのですが、早稲田大学と同じように解ける区分求積法ですか？

一連の問題と同じ区分求積法（均等分割とは限らない）ですね。
たぶん出題当時は「曲線の長さの式」が教科書の範囲外だったのでこのような誘導をつけたのでは、と思われます。

お礼

何度も質問してしまいすみません。
大変丁寧でわかりやすく教えていただき、驚きました。ありがとうございます！
類似問題まで提示していただき本当にありがとうございます。

またお世話になりたいです。
返答も早く、私がほしい返答をしていただき嬉しかったです。
ありがとうございました！

補足

返答が大変遅れてしまい、すみません。
質問にお答えいただきありがとうございます！
なるほど。似たような問題を見つけることができてよかったです！

回答No.5

上野 尚人（@uenotakato）

＞解答解説をネットで見つけましたが、(2)を区分求積法で、
f(1/x)
初項:x1→1
末項:x(n-1)→a
として、
∫(1→a)f(x)dxとして回答すると、いけませんでしょうか。

早稲田教育の (2) に関しては、(1) を経由してはさみうちの原理を用いさせる（一般的なリーマン和を定積分にもちこんでよいことを示す）のが出題意図と思われます。いきなり定積分にもちこむと、この入試では減点かと思います。（あくまでも私の解釈なので実際にどう採点されたかはわかりません）

もともとの京都大学の問題では誘導がついていないので、どう解いても（数学的に正しい解答であれば）よいと考えます。

補足

回答していただきありがとうございます！
返信が遅れてしまいすみません。

最後一つお尋ねしたいのですが。

昨日、授業での問題でとても似たのがあったのですが、早稲田大学と同じように解ける区分求積法ですか？
大阪教育大学　学部　年度　不明
https://dotup.org/uploda/dotup.org2900040.jpg

回答No.4

上野 尚人（@uenotakato）

＞区分求積法∈リーマン和
のような感じでしょうか。
リーマン和において均等にn分割したものを区分求積法としているのでしょうか。

その通りです。
高校数学では等分するケース（区分求積法）を扱います。
大学入試では、誘導つきで、区間が均等ではない分割から定積分（リーマン和）に持ちこませる問題もあります。
早稲田大学教育学部・2014年第3問が参考になるかと思います。

https://mathexamtest.web.fc2.com/2014/201413591/2014135910500mj.html

補足

返答ありがとうございます。
類題まで送っていただきありがとうございます。

早速解いてみました。
解答解説をネットで見つけましたが、(2)を区分求積法で、
f(1/x)
初項:x1→1
末項:x(n-1)→a
として、
∫(1→a)f(x)dxとして回答すると、いけませんでしょうか。
下の解答のようにしないといけませんか。

http://dev.suugaku.jp/kako/waseda/18942-answer.pdf

回答No.3

上野 尚人（@uenotakato）

書き誤りがありました。ご指摘ありがとうございます。
ーー
・区間 (k-1)/n ≦ x ≦ k/n における関数 f'(x) の最小値を m_k , 最大値を M_k とおきます。この添字kも k = 1 , 2 , 3 , ... , n で変化します。このとき
m_k ≦ f’(c_k) ≦ M_k
という不等式が成立します。前もって k/n = t とおいておきます。(1/n ≦ t ≦ 1)
・ここで n→∞ とすると、m_k も M_k も同じ値 f'(t) に収束します。よって、はさみうちの原理より f’(c_k) も f'(t) に収束します。
ーー

補足

丁寧に教えていただきありがとうございます。

区分求積法を学習している過程でリーマン和を知ったのですが、これらは同じものでしょうか。

区分求積法∈リーマン和
のような感じでしょうか。
リーマン和において均等にn分割したものを区分求積法としているのでしょうか。

今、私が質問者様に聞いているのはリーマン和の設明ですかね。。
リーマン和を見てみると、
a=X0＜X1＜X2＜･･･････＜X(n-1)＜Xn=b
となるXi(i=0,1,2,.......,n)でn個に分割し、
ΔXi=Xi-X(i-1)と定める。
各々の区間[X(i-1),Xi]の中に任意の点tiを取る。
S=lim(n→∞)Σ(k=1→n)f(tk)(Xi-X(i-1))
=∫(a→b)f(x)dx
となっていたので。
区分求積法は具体的にtkがわかっているということでしょうか。
今回のckがリーマン和の説明でのtkということですか。

何度も質問失礼してすみません。
何度も回答していただきありがとうございます。

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato）

回答No.1の者です。細かく説明しておきます。

・与えられた解法では、平均値の定理を用いて
「 f (2k/2n) - f (2k-1/2n) = (1/2n) f'(c_k) をみたす c_k が、 (2k-1)/2n ≦ x ≦ 2k/2n の範囲に少なくとも1つ存在する」
としています。この添字kは k = 1 , 2 , 3 , ... , n の範囲で変化します。
・つまり、数列 { c_k } (k = 1 , 2 , 3 , ... , n) の各項は不等式
(2k-1)/2n ≦ c_k ≦ 2k/2n
を満たします。この不等式を広げて
(2k-2)/2n ≦ c_k ≦ 2k/2n
としてもかまいません。約分すると
(k-1)/n ≦ c_k ≦ k/n
となります。（通常の区分求積法の式に近くなります）

・区間 (k-1)/n ≦ x ≦ k/n における関数 f'(x) の最小値を m_k , 最大値を M_k とおきます。この添字kも k = 1 , 2 , 3 , ... , n で変化します。このとき
m_k ≦ c_k ≦ M_k
という不等式が成立します。前もって k/n = t とおいておきます。(1/n ≦ t ≦ 1)
・ここで n→∞ とすると、m_k も M_k も同じ値 f'(t) に収束します。よって、はさみうちの原理より c_k も f'(t) に収束します。
・よって
lim (n→∞) { Σ (k=1 , n) (1/n) f'(c_k) } …(*)
= ∫ (0 , 1) f'(t) dt
= f(1) - f(0)
となります。

※(*) の c_k を k/n におきかえると、通常の区分求積法の式になることを確認してください。

補足

返答していただかありがとうございます。

f'(m_k)≦f'(c_k)≦f'(M_k)
ではなく、
m_k≦c_k≦M_kになることがわかりません。

何度も質問失礼します。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

結論から言いますと、f’(x)が連続であれば区分求積法の仕組みがそのまま適用できます。
2003年の京都大学後期日程では、f(x) = x^100 としたものが出題されています。

ーー

数列 { c_k } は
(2k-1)/(2n) ≦ c_k ≦ (2k)/(2n)
をみたしますが、これを
(2k-2)/(2n) ≦ c_k ≦ (2k)/(2n)
をみたす、と言っても（存在範囲を広くしても）問題ありません。つまり数列 { c_k } の各項は
(k-1)/n ≦ c_k ≦ k/n
という不等式もみたしています。ここから

Σ(k=1,n) (1/n) f’(c_k)
↓ (n→∞)
∫(x=0,1) f’(x) dx = f(1) - f(0)

と変形できます。

補足

返答していただきありがとうございます！
返信が遅くなりすみません。
まだ理解していないところがあって再度質問したいのですが、よろしいでしょうか。

区分求積法を解いていて、まさに2003年の京都大学後期日程の問題からこの区分求積法で平均値の定理を理由する公式を見つけたときに混乱してしまいました。

普段区分求積法を解く際に、
Σの中の式で
f(k/n)を作り出した後、関数f(x)に代入するxをkの範囲(1→nとした時)をもとに、
x=1/n , 2/n ,.......,n/n
とし、長方形の幅を考えて∫に変えるのですが、幅がバラバラでいいのかと思ったのです。

例えば、(すみません。画像が貼れないので読みにくいと思いますが)
kの範囲[k=1→n]の時
lim(n→∞)Σ f{(2k+1)/n}･1/n

(2k+1)/n (k=1,2,....n)よりf(x)とすると、
x=3/n , 5/n ,....(2n+1)/nを代入する。
x座標の幅は2/nより、
lim(n→∞)Σ f{(2k+1)/n}･1/n
= lim(n→∞)Σ f{(2k+1)/n}･ 2/n ･ 1/2
= lim(n→∞) 1/2･Σ f{(2k+1)/n}･2/n
=1/2∫(0→2)f(x)dx
というように解くのですが、平均値の定理を使うと具体的なcは分からないので、長方形の幅がバラバラになってしまい、区分求積法を使えないのではないかと思ったのです。
x=c1 , c2 ,.....,ck
の個数も分らないですし、幅も各々バラバラでもできる理由を教えていただきたいです。
よろしくお願いします。