リーマン積分

質問

リーマン積分は与えられた閉区間で区分的に連続ならば積分可能とあったのですが、

例えば　ｆ（ｘ）が
ｘ＝１以外で｛（ｘ－１)＾２｝/（ｘ－１）で　
ｘ＝１のときｆ（ｘ）＝　３　という関数のとき、　閉区間[0, 2]で　リーマン積分をつかって積分することはできるのでしょうか？

ｘ＝３で区分的に連続とはいえないのでリーマン積分不可能のようなきがするんですが・・・。

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

「区分的に連続」はリーマン積分可能であるための十分条件です。区分的に連続でなくても（不連続点を稠密に含んでいても）リーマン積分可能な関数も存在します。

ところで、質問者さんが例示している関数f(x)ですが、これはX=3で不連続ですが、この関数は典型的な「区分的に連続な関数」です。したがって、リーマン積分可能です。

お礼

回答ありがとうございます。

積分可能ということは、この場合ｘを０～１と１～２にわけて考えるということなのでしょうか？

その場合　ｆ（１）＝　３は無視していいのでしょうか？

回答No.3

scale--free

まず、議論をクリアーにしましょう。

＞リーマン積分は与えられた閉区間で区分的に連続ならば積分可能とあったのですが、
＞　（中略）
＞ｘ＝３で区分的に連続とはいえないのでリーマン積分不可能のようなきがするんですが・・・。

もしｆが区分的に連続でないとするなら、最初の定理は使えません。
したがって、そもそも積分可能か、不可能か、さえも分かりません。

結論を言えば、#1のいうようにｆは区分的に連続なので、積分可能です。
しかし、直接ダルブーの定理などを使っても証明ができるはずです。

ちなみに、リーマン積分には測度の概念は必要ないと思うのですが。

回答No.2

yumisamisiidesu

リーマン積分可能であることの必要十分条件は概連続(つまり不連続点の測度が0)です
有限集合も可算集合も測度＝０です.

お礼

回答していただきありがとうございます。
しかし、私はまだリーマン積分を習い始めたばかりで、“測度”についてはよくわかっていません。

なのでこれを機会に測度についても調べてみようと思います。

また質問があったら、よろしくお願いします。