数学の問題わかるかた！

質問

平面上の２点O、AはOA≠２を満たす定点である。点Bは、中心がOで半径２の円周上を動くとする。線分ABを２：１に内分する点をMとするとき、点Mはどのような図形上を動くか。ベクトルを用いて求めよ。

解法おねがいします。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

ベクトルを↑で表します。又、点Oをx-y座標の原点、
点Aをx軸上の点(a,0)(a≠2)とします。
AB↑=OB↑-OA↑
OM↑=OA↑+(2/3)AB↑=OA↑+(2/3)(OB↑-OA↑)
=(1/3)OA↑+(2/3)OB↑
OB↑=(xb,yb)、OM↑=(x,y)とすると、OA↑=(a,0)から
x=(1/3)a+(2/3)xb、y=(2/3)yb
(3x-a)/2=xb、3y/2=ybをxb^2+yb^2=2^2に代入、
整理して(x-a/3)^2+y^2=(4/3)^2
よって点Mが動く図形は、点(OA/3,0)を中心とする
半径4/3の円になります。

回答No.3

ferien

＞平面上の２点O、AはOA≠２を満たす定点である。点Bは、中心がOで半径２の円周上を動くとする。
＞線分ABを２：１に内分する点をMとするとき、点Mはどのような図形上を動くか。
＞ベクトルを用いて求めよ。
Ｏ（０，０）、Ａ（ａ，ｂ），Ｂ（ｘ0，ｙ0），Ｍ（ｘ、ｙ）とおく。
ＡＭ：ＭＢ＝２：１だから、ベクトルを、ＯＭ，ＯＡ，ＯＢとすると、
ＯＭ＝(1/3)ＯＡ＋(2/3)ＯＢより、
（ｘ，ｙ）＝(1/3)（ａ，ｂ）＋(2/3)（ｘ0，ｙ0）
＝（(1/3)ａ＋(2/3)ｘ0，(1/3)ｂ＋(2/3)ｙ0）
ｘ＝(1/3)ａ＋(2/3)ｘ0，　ｙ＝(1/3)ｂ＋(2/3)ｙ0　より、
ｘ0＝｛ｘ－(1/3)ａ｝×(3/2)，　ｙ0＝｛ｙ－(1/3)ｂ｝×(3/2)　…（１）
OA≠２だから、ＯＡ^2≠４より、ａ^2＋ｂ^2≠４
点Bは、中心がOで半径２の円周上を動くから、ｘ0^2＋ｙ0^2＝４
（１）を代入して、
（9/4）（ｘ－ａ／３）^2＋(9/4)（ｙ－ｂ／３）^2＝４より、
よって、
（ｘ－ａ／３）^2＋（ｙ－ｂ／３）^2＝（４／３）^2
点Ｍは、中心（ａ／３，ｂ／３），半径４／３の円の上を動く。
ただし、ａ^2＋ｂ^2≠４から、点Ａが中心Oで半径２の円周上にある場合を除く。

でどうでしょうか？

回答No.1

m0r1_2006

コンパスと定規とグラフ用紙（白紙でも可）を用意して，
問題通りに軌跡を描けばできあがり．

OA >2 と OA<2 の２通り描くこと