数学の問題です☆

質問

△ＡＢＣが点Ｏを中心とする半径1の円に内接している。Ｏから辺ＡＢ,ＢＣ,ＣＡに下ろした垂線をそれぞれＯＰ,ＯＱ,ＯＲとしたとき、3OPベクトル+2OQベクトル+ORベクトル＝0ベクトルをみたしている。
このとき、OAベクトル,OBベクトル,OCベクトルは

(ア)OAベクトル+(イ)OBベクトル+(ウ)OCベクトル＝0
をみたし、OAベクトルとOBベクトルの内積は(エ)(オ)/(カ)である。

ただし、(ア)＝(イ)＝(ウ)＝0ではない。

という問題です。
解き方と答えを教えて下さい♪

回答No.3

mko900

再三訂正すいません。やっぱり答え変わってきます。
エオ＝－４です。
解いてて答えちがうぞ・・とおこってたらごめんなさい。

回答No.2

mko900

先ほど答えたものの訂正です。
下のほうで両辺２乗した式の入力が間違ってました。
１６｜ＯＡ｜＋　４０　ＯＡ・ＯＢ＋　２５｜ＯＢ｜＝　９｜ＯＣ｜
でした。答えは変わりません。
どうもすみません。

お礼

ありがとうございました♪すごくわかりやすかったです。
また、分からない問題があったらよろしくお願いします☆

回答No.1

mko900

答えだけ先に。問題のレベルと空欄の感じからセンターの問題っぽい感じなのでそれにあわせると
（ア）４（イ）５（ウ）３（エオ）＝－１（カ）＝５
となりました。（ほかの人のも参照してください。間違ってたら本当にごめんなさい。）
（解き方）
一個目の式は与えられた条件式の式変形の問題です。
ＯＰ,ＯＱ,ＯＲの各ベクトルをＯＡ、ＯＢ、ＯＣベクトルを使って表しします。
注目するべき点はＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝（円の半径）＝１より、
(1)△ＯＡＢ、△ＯＢＣ、△ＯＣＡともに二等辺三角形であること
(2)二等辺三角形の頂点からおろした垂線は底辺を二等分すること
です。そうすると例えばＯＰベクトルは
ＯＰベクトル＝ＯＡベクトル＋ＡＰベクトル
　　　　　　＝ＯＡベクトル＋1/2ＡＢベクトル
　　　　　　＝ＯＡベクトル＋1/2（ＯＢベクトルーＯＡベクトル）
　　　　　　＝1/2ＯＡベクトル＋1/2ＯＢベクトル
と表せます。ＯＱ,ＯＲベクトルも同様にして
ＯＱベクトル＝1/2ＯＢベクトル＋1/2ＯＣベクトル
ＯＲベクトル＝1/2ＯＡベクトル＋1/2ＯＣベクトル
こうして表されたＯＰ,ＯＱ,ＯＲの各ベクトルを条件式に代入して整理してやると
4/2ＯＡベクトル＋5/2ＯＢベクトル＋3/2ＯＣベクトル＝０
分母払って
４ＯＡベクトル＋５ＯＢベクトル＋３ＯＣベクトル＝０・・（＊）
となります。
二個目ＯＡベクトルとＯＢベクトルの内積を求める問題ですが、普通に内積の公式ではできません。
（＊）を式変形します。
４ＯＡベクトル＋５ＯＢベクトル＝ー３ＯＣベクトルとし
両辺２乗します。
１６｜ＯＡ｜＋ＯＡ・ＯＢ＋｜ＯＢ｜＝９｜ＯＣ｜
（｜ＯＡ｜、｜ＯＢ｜、｜ＯＣ｜はともに２乗になっています。）
ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝（円の半径）＝１なので
｜ＯＡ｜＝｜ＯＢ｜＝｜ＯＣ｜＝１
代入して整理して整理するとＯＡベクトル・ＯＢベクトル＝－１/５
となります。
図を描いてみるといいと思います。参考になれば幸いです。