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多角形について≧∞≦

多角形についてです。3題問題がありまして、3つの答えをたすと答えが170か、168か172か、1113か、1115になるという問題です。 (1)内角の和が2340度になるのは何角形?180°×(n-2)=2340で答えは、15角形 (2)一つの内角の大きさが162度になるのは何角形?180°×(n-2)=162nで、20角形 (3)対角線が全部で20本引ける正多角形の一つの内角の大きさは?←これがどうしても分からなくて困っています。誰か教えてください≧∞≦ それと、(1)と(2)の答えって合っていますか?回答の方、宜しくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

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  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)
回答No.1

>3つの答えをたすと答えが170か、168か172か、1113か、1115になるという問題です。 170です。 >(1)内角の和が2340度になるのは何角形?180°×(n-2)=2340で答えは、15角形 n-2=13より、n=15 合っています。 >(2)一つの内角の大きさが162度になるのは何角形?180°×(n-2)=162nで、20角形 1つの外角の大きさは、180-162=18より、外角の和360/18=20 20角形で、合っています。 >(3)対角線が全部で20本引ける正多角形の一つの内角の大きさは? 正多角形の対角線の数=n(n-3)/2=20だから、 n^2-3n-40=0 (n-8)(n+5)=0n>0より、n=8 180×(8-2)=1080(内角の和) 1080/8=135度 多角形の対角線の数については、以下を参考にして下さい。

参考URL:
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92%E7%B7%9A
reintaisa
質問者

お礼

詳しい計算の過程までありがとうございます。とても参考になりました。採用試験が近いので、この解説を参考にして、精一杯頑張ろうと思います。ありがとうございました。

その他の回答 (3)

  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.4

(1) n=15,(2)n=20の答えは合っています。 ただし、式の両辺の単位を揃えましょう。(左辺に「°」をつけるなら、右辺にも「°」をつける。) (3)は正n角形の対角線の総数についての式  n(n-3)/2=20 ∴n=8  1つの内角 = 180°*(n-2)/n = 180°*6/8 = 135° >3つの答えをたすと答えが170 15+20+135 = 170 となっています。

reintaisa
質問者

お礼

単位を揃えるのを忘れてしまってすみませんでした。ご指摘ありがとうございます。とても分かりやすく回答をしていただきありがとうございました。

回答No.3

(1)と(2)は合っていますよ!(^_^)b <(2)の別解> 一つの外角が 180°-162°=18° 多角形の外角の和は360°だから 360°÷18°=20 よって正20角形 (3)http://yosshy.sansu.org/taikakusen.htm ↑こちらを見ていただくと分かりますが、 正n角形の対角線の本数は n(n-3)/2 です。 n(n-3)/2=20 とすると、n=8 となります。 よって正8角形 一つの内角の大きさは 180°×(8-2)÷8=135° 3つの答えの和は170になりましたね。 これでご理解頂けたでしょうか?

reintaisa
質問者

お礼

質問に回答していただきありがとうございます。とても分かりやすい回答でした。参考にさせていただきます。ありがとうございました。

  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (2127/6290)
回答No.2

(3) まずは、四角形とか五角形とか、頂点の数が少ない図形で考えてみましょう。 ある頂点からの対角線は、その頂点自身と、両隣の頂点(合計3頂点)へは引けません。 ということは、n角形のある頂点から引ける対角線の本数は(n-3)本です。 n角形ですからそれがn個分ありますが、これだと同じ対角線をダブって数えています。 よって、全体を2で割る必要があります。その数が20本です。

reintaisa
質問者

お礼

対角線の観点から、詳しい説明ありがとうございます。参考にさせていただきます。

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