ジョルダン図形の問題教えてください。

質問

『任意のジョルダンn角形の内角の和は(n-2)×180度であることが予想される。この事実を幼稚園児にも分かる解るように解説せよ。』という問題が出せれました。しかし・・・私にはわかりません。私がわかることは、ジョルダン図形と言うものが始点と終点は同じで、途中で線が交わっていない図形らしいのですが・・・。幼稚園児というところに納得がいかず困っています。少しでも解る方がいたらお願いします。

回答No.4

stomachman

近頃の幼稚園児は３桁の掛け算ができるんですね。すごいや。小学生でも掛け算は２桁までしか教えなくなるとか聞いておりますが…　なんて、ジョルダンはさておいて。

三角形に分割しない説明も考えてみましょう。
　自分がある頂点から出発して、時計回りに辺に沿って動く所を想像してみて下さいな。辺は真っ直ぐ行って、角に来たらちょっと向きを変える。これを繰り返して、元の頂点に戻ってきて、それから出発したときと同じ向きに回る。

　ややこしい軌道を描いたものの、自分の回転だけを考えれば、結局は実質３６０度一回りしたわけです。角で方向を時計回りにθだけ修正したのなら内角は１８０度-θ（反時計回りにθだけ修正したのなら、これは時計回りに-θだけ回った、と考えれば良く、内角は１８０度＋θ）です。で、全部の角での方向修正の合計が３６０度になった。
　角がn個あって、もし一度も方向修正をしなかったのなら、どの内角も１８０度ですから内角の合計は１８０度×n です。でも実際には合計３６０度の方向修正をしたんだから、１８０度×n - ３６０度ということになります。

　一般に、平面上の好き勝手な軌道を歩いた挙げ句、出発した時と同じ向きを向いた。このときの方向修正の合計は、360度の整数倍です。

回答No.3

sabodes

補足しておきます。全ての角が鋭角であることを想定して説明していました。
　三角形は形が変わっても内角の和は等しいので、変形しても同じ事になります。
　Zincerさんの証明も正しいです。ジョルダンｎ角形を三角形に分割するのにｎ角形の数を増やすことから導き出していますよね。おそらく問題の出題者も(n-2)と括弧でくくっていますから同じ意図なのかもわかりません。三角の積み木をくっつけていくとジョルダンｎ角形ができると言う意味かもしれません。
　ただ、幼稚園児に理解と言うことだったので、ケーキを切るようにｎ角形は、ｎの数だけ辺を持っているのでその数の三角形に分けられるという方が解りやすいのではと思って前のような説明にしました。
　稲妻形を想定すると私の説明では解りにくいかもしれませんが、分割することで同じように説明できます。
　まあ、いずれにしても幼稚園児にも解るようにというのは問題の出題に無理があるような気がします。三角の説明の前に何度も度の説明が必要な気がします。「何で180度なの。100度じゃどうしていけないの。」と聞かれても私には答えられません。

お礼

変な問題で困るなかありがとうございます。

回答No.2

Zincer

私は数学の専門家では無いので、用語には自信がありませんが、
＞任意のジョルダンn角形の内角の和は(n-2)×180度であることが予想される
要するに予想させれば良ければ
（１）任意の三角形を１つ書く
（２）その三角形の外側に任意（ある条件がつきますが？）の１点を定め、その三角形の辺に交わらないように隣り合った２頂点に直線（線分）を引く
（条件）この線分が２頂点からの辺と直線関係であってはならない。
※ここで任意のジョルダン四角形が出来あがり、その内角の和は三角形２（＝４－２）個分である。
（３）この操作を繰り返すことにより、「任意のジョルダンｎ角形」を作っていくとその内角の和は、三角形ｎ－２個分である。（になるかな？）
こうすると三角形の「内角の和＝１８０度」を証明する必要はありませんが、問題中の「１８０度」を「三角形の内角の和」と読み変えなくてはいけません。（これでも幼稚園児に三角形の内角の和が一定であることは納得させる必要があります。）

もう一つ上記とは逆の説明になりますが、「任意のジョルダンｎ角形はｎ－２個の三角形に分割できる」まではわかりましたが、私には大学生にでも納得させる証明が出ませんでしたので諦めました。（専門家ならば可能かも知れませんのでフォロー願いますでしょうか？）

余談ですが「稲妻型」でもジョルダンｎ角形と定義されているんですよね？
失礼ですがsabodesさんの説明では内部の１点ではこのような図形に適用した場合、イメージしにくいように思います。情けないことですが、私には出来ませんでした。

お礼

私がわからなかったこと色々教えてくださりありがとうございます。

回答No.1

sabodes

幼稚園児が理解するかどうかわかりませんか、考え方は次のとおりです。

(1)ｎ角形の図形は、中心に点を設定して、その点と角を線で結べばｎ個の三角形ができます。

(2)三角形の内角の和は３６０度です。全ての三角形の内角の和は３６０×ｎ個となります。

(3)この図形の内角の和は全ての三角形の内角の和から中心部分の三角形の内角の和
（つまり中心の点の周りは合計すれば３６０度ですから）を引けば求められます。

(4)これを数式にすると
三角形の内角合計（ｎ×１８０度）－中心部分の内角の和（３６０度）
ｎ×１８０－３６０を整理すると質問の式となります。

ただ、幼稚園児に内角の和が１８０度をまずどう理解さすかがもっと難しい問題だと思います。

お礼

ありがとうございます。幼稚園児に分かるように・・なんて分かりませんよね。だって私にもよくわからないのに幼稚園児にわかるのかな？本当に助かりました。