３次方程式

質問

３次方程式　x'3 - 3x'2 - 50 =0
を、（x-5)(x'2 + 2x + 10)=0に変形する手順を
どなたか教えていただけませんか？
習った時は割り算のようにして解いていた気がしたのですが
具体的にどうするのかわからなくなってしまいました。

※　x'2 ・・・・xの2乗を表します

回答No.4

hinebot · ベストアンサー

f(x)=x^3-3x^2-50 とおきます。　(^は累乗の記号。普通はこっちを使います。）

＃１さんの回答とおりなのですが、
>xに-1,-2,1,2,3などを順々に代入してみて
なにも全部やってみる必要はありません。
定数項（この問題の場合は -50）に着目します。
この定数項の約数になる
±1,±2,±5,…
だけを調べればいいんです。
で、x=5のときf(5)=0 であることが分かれば
f(x)はx-5 を因数に持つので、あとはf(x)÷(x-5)を計算するわけです。
このやり方は、普通の整数の割り算と同様に筆算で下記のようにできます。（ちょっと見にくいかも知れませんけど）

　　　x^2 +2x +10
　　　---------------------
x-5 / x^3 -3x^2　　　　-50
　　　x^3 -5x^2
　　　---------------------
　　　　　　2x^2
　　　　　　2x^2 -10x
　　　　　　---------------
　　　　　　　　　10x -50
　　　　　　　　　10x -50
　　　　　　　　　---------
　　　　　　　　　　　　0

お礼

ありがとうございます。(x-5)で割る、というそのやり方がわからなかったのでとても参考になりました。

回答No.5

hinebot

＃４です。

x-5 が因数と分かった後、先に（また他の方も）回答されているとおり実際に割り算を計算して、商を求めるのが確実ではありますが、もっと合理的に出すこともできます。

３次式を１次式で割った商は２次式であるというのはOKですね。
で、元の式のx^3の係数が１なので、商のx^2の係数も自動的に１に決まり、商を x^2+ax+b と置けます。
つまり、
f(x)=x^3-3x^2-50=(x-5)(x^2+ax+b) とできると。
で定数項が -50 ですから　-5b=-50 より、b=10もすぐに分かります。あとは、xの係数のa を出すだけ。
xの係数は -5a+b で、b=10なので
-5a+10 = 0 より、a=2
よって、
f(x)=x^3-3x^2-50=(x-5)(x^2+2x+10)
と求めることができます。
（この方法を使う場合、念のため最後に右辺を展開して、確かに左辺と一致することを確認【検算】してください。）

回答No.3

arukamun

x^3-3x^2-50=0
の-50に着目します。
-50は-(2*5*5)ですので、
-10,-5,-2,2,5,10のどれをxに代入するとと式が成り立つかを探します。
x=5の時に成り立つ事が解りましたので、
　　　　____________________
　x-5 )　x^3-3x^2-50

として割り算をします。

　　　　__x^2______________
　x-5 )　x^3-3x^2-50
　　　 ___x^3-5x^2___
　　　　　　　 2x^2-50

　　　　__x^2+2x___________
　x-5 )　x^3-3x^2-50
　　　 ___x^3-5x^2___
　　　　　　　 2x^2-50
　　　　　　___2x^2-10x___
　　　　　　　　　　　10x-50

　　　　__x^2+2x+10________
　x-5 )　x^3-3x^2-50
　　　 ___x^3-5x^2___
　　　　　　　 2x^2-50
　　　　　　___2x^2-10x___
　　　　　　　　　　　10x-50
　　　　　　　　　 ___10x-50___
　　　　　　　　　　　　　　　0
これで、
(x-5)(x^2+2x+10)
ですね。

お礼

ありがとうございます。参考になりました。

回答No.2

shinobinomono

ＮＯ．１の方がおっしゃるように、（ｘ－５）が因数であることがわかったら、与式を（ｘ－５）で割るのですが
　　　　　　　　　　　５ｘ'２＋２ｘ＋１０　　　　
　　ｘ－５ ） ｘ'３－３ｘ'２　　　－５０
　　　　　　　ｘ'３－５ｘ'２
　　　　　　　　　　 ２ｘ'２　　　－５０
　　　　　　　　　　 ２ｘ'２－10ｘ
　　　　　　　　　　　　　　　10ｘ－５０
　　　　　　　　　　　　　　　10ｘ－５０
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　０
　というように商を出せばよいのです。アンダーラインの引き方がわからず見にくいですが・・・。

お礼

ありがとうございます。参考になりました。

回答No.1

eiji2003

まず、xに-1,-2,1,2,3などを順々に代入してみて
方程式が成り立つものを探します。
この場合ｘ＝５のとき与式が成り立つので
因数のひとつはx-5　です。
これがわかれば、３次式÷(x-5)をすればOKです。
出てきた二次式（商）がさらに因数分解できるの場合は因数分解してください。

お礼

ありがとうございます。参考になりました。