微分方程式

質問

初心者なので見苦しいところもあるかと思いますがご了承下さい

y'=f(x)g(y)という微分方程式があるとき
dy/dx=f(x)g(y)と書き直して
このあと
dy/g(y)=f(x)dx
と変形しているのですがこれはどういうことでしょうか？
一見dx/g(y)という分数をかけてるように見えるのですが、dy/dxは記号で割り算ではないと聞いています
詳細を教えてください

回答No.5

alice_44

そうだなあ。
弧長パラメータそのものは、定番のギミックに過ぎないけれど、
局所一意化変数の存在は、解の存在定理と表裏一体だから、
式変形だけでも悩んでいる人には、難しかったかも知れない。
反省しました。

お礼

こちらこそ基本もできない初心者ですみませんでした
回答ありがとうございました

回答No.4

kabaokaba

>申し訳ないです
>知りません

ならばどんな簡単な微分方程式でも
それを扱うための素養がまったく足りてませんので
どんな説明も理解はできないでしょう．

まずは，「積分の計算」をできるようになりましょう．
置換積分・部分積分の練習をやまほどしましょう．

そうでもしないと，
aliceさんの「曲線の長さによるパラメータ」という
定番の手法も理解できません．

お礼

すみませんでした
出直してきます
それでわからなかったらまた質問させてください
ありがとうございました

回答No.3

alice_44

常微分方程式の解は、曲線ですから、
ひとつの変数で媒介変数表示されます。
例えば、初期値で与えられた点から
曲線に沿って測った弧長などが
媒介変数として使えます。
その媒介変数を s としましょう。
合成関数の微分則より、dy/dx=(dy/ds)/(dx/ds)
です。これを使って、問題の式は
(1/g(y))(dy/ds) = f(x)(dx/ds) と変形できます。
質問の式は、これの略記だと思えばよい。
両辺を s で積分すれば、A No.1 の式が出ます。

回答No.2

kabaokaba

あなたは置換積分を知らないのですか？

補足

申し訳ないです
知りません

回答No.1

kabaokaba

積分記号をつけて
置換積分の公式を考えればいい．
そのための簡便表記が変数分離という手法だと思えばいい．

∫(1/g(y))dy = ∫((1/g(y))(dy/dx)dx
=∫(1/g(y))f(x)g(y)dx
=∫f(x)dx

というわけ．

実際は・・dyとかdxというものがきちんと定義できて
y=F(x)のとき
dy=(F'(x))dx
という式が成り立つのだが，これはずっと先のお話．

簡単な微分方程式なら置換積分で理解できる．

補足

すみません
初歩的で申し訳ないですが
∫(1/g(y))dy = ∫((1/g(y))(dy/dx)dx
となる理由がわかりません
dy=(F'(x))dxの両辺をdxで割るとF'(x)=dy/dxなのでやはりdyやdxも掛け算や割り算をしていいのでしょうか？
そうすると(dy/dx)×dx=dyとなって納得がいくのですが