二次方程式の解き方で

質問

今中３で二次方程式を習っているのですが、途中もうわけわかりません。
（x-4）二乗-2＝0を解くと
（x-4）二乗＝2
x-4＝±√2
途中ですが、(x-4)二乗の二乗を消すとなぜ2が±√2になるのかがわかりません。そう覚えるしかないのでしょうか？

回答No.8

noname#231526 · ベストアンサー

まず、単純な例、X^2 = 4 で説明します。
　X^2 = 4 の解き方：
　X^2 - 4 = 0
　(X + 2) (X - 2) = 0
　よって、X = 2 または X = -2。

　以上を略記して、X = ±2

　この解き方を途中を省略して、
　X^2 = 4
∴ X = ± 2
というように解くのです。
　これは、移項の場合と同じで、
X - 2 = 0 を解くのに、
X - 2 + 2 = 0 + 2 というプロセスをいちいち書かずに、形式的にいきなり
X = 2 とあたかも符号が変わって等号の反対側に移ったかのように見て、
移項と言うのです。本来は、等式の両辺に同じ数を足しても等式であるという性質を使っているわけですね。
　二乗の場合には、上記のように、A^2 - B^2 = (A-B)(A-B)という公式を使って、因数分解して、解を求めているのを、いちいちそこまで書かずに、
　A^2 = B^2 からすっ飛ばして A=±B
としているわけです。

（中学生の方はここからのカッコの中は読み飛ばしてください。高校生以上の方向けに補足
　X^2 = -2 だったらどう解くかというとすっ飛ばした方がわかりやすくて、
　X = ±(√2)i
となるわけですが、これは実は何をやっているかというと
　X^2 + 2 = 0 から
　(X + (√2)i)(X - (√2)i) = 0 なんていうとんでもない因数分解をいつの間にやらやっていることになります(^_^;)
以上補足終わり）

　あ、話がそれてしまいました。では、簡単な例を離れて、質問の例で行きますと、
(X-4)^2-2＝0を解くと
{(X-4)+(√2)}{(X-4)-(√2)} = 0
　と因数分解して、
　(X-4)+(√2) = 0 または (X-4)-(√2) = 0
　∴ X-4 = -(√2) または X-4 = (√2)
　この二つの式をまとめて書けば、
　X-4 = ±(√2)
となります。
　以上の部分を省略して、
(X-4)^2 = 2
　X-4 = ±(√2)
とするのです。移項の場合もそうですが、慣れれば略記した方が遥かに解りやすく簡単でいいのです。

お礼

なるほどー。教科書にはこのような計算式が省略されていたのか・・・。こんなふうに途中式を出すとわかりました。とっても詳しくありがとうございます。最初は少し途中式も書いて慣れたら略していきたいと思います。

回答No.9

noname#231526

#8 です。ミスタイプがありました。訂正します。

　#8 の下の文、
　「二乗の場合には、上記のように、A^2 - B^2 = (A-B)(A-B)という公式を使って、」
　は、
「　二乗の場合には、上記のように、A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)という公式を使って、」
が正しいです。

回答No.7

mech32

もしも意味として理解しにくい場合、体験として実感する、という方法があると思います。例えばこの方程式の解
x=4±√2
を、実際に元の方程式に代入してみると、

(4±√2-4)二乗-2=0
↓
(±√2)二乗-2=0
↓
2-2=0

という具合になって、確かに正解になっていることは分かります。つまり、「なぜ」を考えるのではなく、「とにかく、正解なんだからそれでいい」というふうに、考え方を切り換えてみます。このような姿勢は、より高度な数学を勉強される場合でも有効になることは多いと思います。

実際、「なぜ」は分からないけど、「とにかく正解にはなる」、という答えは、数学についても、結構多く出てきます。以下、ややこしいかもしれないので、意味不明なら読み飛ばして下さい。

例えば微積分の場合、多くの関数について、微分は非常に簡単なのですが、積分は全然出来ません。でも、関係として、微分したものを積分すれば元の関数になる、ということが知られています。そこで、とにかく、なんでもいいから微分してみる訳です。で、その微分結果の知識を積み重ねていきます。その上で、何か関数を積分したいとき、その微分結果の膨大なデータベースを参照し、あてはまる関数を捜し当てて、機械的に当てはめることによって積分を実行します。つまりそこでは、「なぜ積分するとそうなるか？」は分からない訳です。でも正解は分かる。

つまり、「なぜ」を考えずに、単に答えが正しいかどうかだけを確認する、という手法は、インチキではなく、立派な方法でありうるわけです。

お礼

僕も「なぜ」と考えずにそうなるものはなるというふうに考えてやっていたのですが、結構間違うのでつい「なぜ」と疑問をもってしまいました。x二乗ならわかっても（x-4）二乗みたいに()の中に項が二つもあったりしたのでつい「なぜ」と考えてしまいました。テストとかでそんなことで時間をとらないようにします。

回答No.6

pascal3141

>(x-4)二乗の二乗を消す…のところでつまづいていますね。二乗を消すと考えるからおかしいので、○の２乗＝２なら、○はどんな数字だったらいいか考えましょう。そう、○＝（２乗して２になる数字）です。２乗して２になる数字は、簡単に見つからないので、それを√２と書きましょう（これが√の約束）。すると、○＝√２と一応答えらしいものはかけました。ここで、もっと考えてみると、√２×√２＝（ー√２）×（ー√２）も成り立つので、○＝－√２もいいことがわかります。そのため２乗して２になる数は、±√２とできますね。よって、○＝±√２です。

お礼

二乗して２になる数字が簡単に見つからないので√を使うんですか。なるほど素数とかあやふやだったのが繋がりました。

回答No.5

shogetsu

(x-4)二乗の二乗を消すには、2の方からも二乗を消さなければいけませんよね？
二乗して2になるのは＋√2、または-√2なので、2から二乗を消すと、±√2となります。
これで解ったでしょうか。

お礼

なんとなくわかりました。二乗を消すには(x-4)分の1を両方にかけるという事を考えていたんですが、(x-4)の二乗を消したら2のほうの二乗も消すという考えでやってみたらなんとなくわかりました。

回答No.4

shibainumodoki

xの２乗＝２　なら、ｘ＝±√２ですね。

(ｘ－４)の２乗＝２　のとき、ｘ－４をひとかたまりとみて、Ａ＝ｘ－４　とすれば
Ａの２乗＝２　となり　Ａ＝±√２　になりますね。
最後に、Ａ＝ｘ－４　なので元に戻して、
ｘ－４＝±√２　よって、ｘ＝４±√２です。

お礼

なるほど、ひとまりとしてみて考えるという手もあるんですね。やってみます～。

回答No.3

anmochi

この解説では2乗を「^2」と表記する。

まず、a^2=4という式を考えてみよう。　・・・(0)
「ある数aに同じ数字xをかけると4になる」という意味だよね。
これは、a×a=4と同じ意味だ。　・・・(1)
ところで、-1×-1=1というのは大丈夫かな？　・・・(2)
(1)と(2)より、a×a=4は、2×2=4または-2×-2=4、つまり、aは+2か-2になる。なのでa=±2と表記する訳だ。

では、(0)で考えた式において、aを(x-4)、4を2に置き換えてみる。
(x-4)^2=2　・・・(0')
(x-4)を2回かけると2になる訳だ。
ここで、(x-4)をひとかたまりに考えると、先ほどの(2)より、(x-4)は、+√2、または-√2になるよね。√2×√2=2であるし、-√2×-√2=2であるので。
　なので、(x-4)^2=2の根を取る(2乗を消す)と、(x-4)=+√2または(x-4)=-√2である事から、

　x-4=±√2　・・・(3)

　となる。

　う～ん。これで分かってもらえるだろうか・・・・？

お礼

だいぶわかりました！なんか自分では（x-4）二乗を消すには両方に(x-4)分の1をかけるとか、そういうのを考えていたのでまったくわけがわかりませんでした。
でも、＝に注目してよく考えたらだいぶ納得できました。詳しくありがとうございました。

回答No.2

a-yoshi

>(x-4)二乗の二乗を消すとなぜ2が±√2になるのかがわかりません
→式を解くという観点から見ると、消すのではなく、二乗したものの解を求めている。と見てください。

x-4をＡとすると、Ａ二乗＝２　のＡは、マイナスの数値であってもよいわけです。まりプラス側とマイナス側の両方の数値が求める答えになるわけです。

　従って、＋√2と－√2の両方とも解になるわけです。

　わかりましたか？こんがらがってしまったかなぁ(^^;

お礼

＋√2と－√2の二つの解がでるというのはわかりました。二乗したら全部＋になるということかな。

回答No.1

kiyocchi50

ルートとは何かよく教科書を読んでみてください。

考え方として、「二乗を消すと２がルート２になる」とは考えない方がいいです。
回答を全部言っては勉強になりませんのでよく考えてください。

ついでですが、この先高校に入って勉強する中でルートの前にある±が重要になる事があるので忘れないようにしてください。

お礼

なるほど、「消す」というふうに考えないほうがいいんですね。±はしっかり覚えときます。