単振動 振幅

質問

実践は+x方向へ進む正弦波y1を、点線は-x方向へ進む正弦波y2を表している
x=1.5、1での単振動の振幅を求めよ

なんとかy=2A*sin2πt/T*sinπx/6になるのはわかりましたが、tとTが分からず困ってます
どうすればよいでしょうか？

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回答No.2

Quarks

>最大値じゃなくて値を求めてるのにsin(2πｔ/Ｔ)の最大値を使っていいんですか？

なぜそのような疑問が生じるのでしょう？　先の回答の考え方の筋道を理解していますか？

もういちど繰り返します。
添付図をご覧下さい。任意の位置（たとえばｘ＝Ｘ'）の媒質の振幅は、線分ＱＸ'の長さです。
それは、先の回答で示したように
　２Ａ・|sin(πｘ/6)|
です（太線の輪郭のうち、ｘ軸より上の方の曲線は　２Ａ・|sin(πｘ/6)|　ですよ）。

ちょっと、具体的にみてみましょう。
たとえば、
　ｘ＝１
の点の媒質を考えてみましょう。
媒質の変位は
　ｙ＝２Ａ・sin(2πｔ/Ｔ)・sin(πｘ/6)
でしたから、ｘ＝１　の地点の媒質の変位は
　ｙ＝２Ａ・sin(2πｔ/Ｔ)・sin(π/6)
　　＝２Ａ・sin(2πｔ/Ｔ)・0.5
　　＝Ａ・sin(2πｔ/Ｔ)
です。さて、このｙの最大値(変位の最大値が振幅なのです)はいくらでしょうか？
　Ａ　ですよね。
ｔはｘとは独立した変数で、ｔはどんな値でも取り得るのですから
　|sin(2πｔ/Ｔ)|＝１
のときにｙは最大値になるわけです（sin関数は、最大値が１でしたよね）。

　ｘ＝10
の点の媒質ではどうでしょう。
媒質の変位は
　ｙ＝２Ａ・sin(2πｔ/Ｔ)・sin(10π/6)
　　＝２Ａ・sin(2πｔ/Ｔ)・(-√3)/2
　　＝{Ａ・(√3)/2}・(－sin(2πｔ/Ｔ))
です。さて、このｙの最大値はいくらでしょうか？
　Ａ・(√3)/2　ですよね。
やっぱり
　|sin(2πｔ/Ｔ)|＝１
のときです。

ｘが他の値であったとしても、
　ｙ＝２Ａ・sin(2πｔ/Ｔ)・sin(ｘπ/6)
　　＝{２Ａ・sin(ｘπ/6)}・sin(2πｔ/Ｔ)
と書け、　|{２Ａ・sin(ｘπ/6)}｜　がいくつであろうとも、ｙが最大になるのは
　|sin(2πｔ/Ｔ)|＝１
のときに限るはずでしょう。

補足

|{２Ａ・sin(ｘπ/6)}｜がいくつであろうとも、ｙが最大になるのは|sin(2πｔ/Ｔ)|＝１のときに限るのは分かりました

ただ、例えばx=3の振幅を求めるとして、
ｙ＝２Ａ・sin(2πｔ/Ｔ)・１
となりますよね
ここでsin(2πｔ/Ｔ)を１とすると、yの値ではなく、x=3のときのyの最大値を求めてることになりませんか？
sin(2πｔ/Ｔ)が1/2とかになれば、振幅は変わりますよね？

回答No.1

Quarks

振幅を知りたいとしても、周期や時刻の情報は無くても構いません。

確認しましょう。

　振幅とは、その位置における媒質の　ｙ(変位)の最大値　のことです。

波の式を見てみましょう。
　ｙ＝２Ａ・sin(2πｔ/Ｔ)・sin(πｘ/6)
で、ｘが決まると　sin(πｘ/6)　の部分がいくつになるかが決まりますね。
では、　sin(2πｔ/Ｔ)　の部分の値はどうなるでしょうか？　もちろん時刻によって異なります。つまり、時刻によっていろいろな値を取るわけです。しかし、この部分は sin 関数です。sin関数は、角度(位相)がどうなっていようと、
　最大値＝１,最小値＝－１
です。そう、ｙの最大値は、　sin(2πｔ/Ｔ)＝１ or －１　の時に取る値なのです。つまり、
　位置ｘにおける振幅(媒質の変位の最大値(当然、正の数です))＝|２Ａ・sin(πｘ/6)|
　＝|２Ａ・sin(ｘ・30°)|
です。
ｘ＝１　の場所なら、振幅＝|２Ａ・sin(１・30°)|＝…
ｘ＝1.5　の位置なら、振幅＝|２Ａ・sin(1.5・30°)|＝…

ここで、覚えておくと良いことがあります。
　(ｘ座標＝ｘの位置における)媒質の振動の振幅＝ |２Ａ・sin(πｘ/6)|
定常波の振幅は、このように、場所によって異なるということです。
イメージとしては、定常波を撮影するとき、任意の瞬間だと、単純な波(山あり谷あり。しかも時刻によっては山の高さや谷の深さは、２Ａになっていない時の方が多いでしょう)が見えるだけですが、長時間シャッターを開けておくと、写った"波形の輪郭"はまさに、　|２Ａ・sin(πｘ/6)|　の形になっているわけです。

補足

最大値じゃなくて値を求めてるのにsin(2πｔ/Ｔ)の最大値を使っていいんですか？