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単振動の法手式と基準振動
- 単振動とは、線密度が一様な弦を張力で振動させたときの現象を指します。
- 単振動の法手式は、a^2u/at^2 = T/σ・ a^2u/a^2x という方程式で表されます。
- 基準振動を得るためには、u(x,t) = f(x)cos(wt+φ)という関数を使用します。
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質問者が選んだベストアンサー
そもそも∂をaとかいたら主旨不明の質問になります。 ∂^2u/∂t^2 = (T/σ)(∂^2u/∂x^2)...(1) ならこれは波動方程式です。質問者さんは式の最後の部分をa^2xと書いておられますが、これは∂x^2であろうと思います。 u=fcos(ωt+φ)...(2) としたのですから ∂u/∂t=-(fω)sin(ωt+φ) ∂^2u/∂t^2=-(fω^2)cos(ωt+φ)...(3) ∂u/∂x=f'cos(ωt+φ) ∂^2u/∂x^2=f"cos(ωt+φ）...(4) です。 境界条件はx=0, x=Lで固定ですから f(0)=0, f(L)=0...(5) です。 (3)と(4)を(1)に代入すると -(fω^2)cos(ωt+φ)=(T/σ)f"cos(ωt+φ） すなわち f"=-(w^2σ/T)f...(6) となります。 ω√(σ/T)=k...(7) と書くと(6)は f"=-k^2f...(8) となります。これがf(x)が満足すべき微分方程式です。(8)を解けば一般解は f=Asinkx+Bcoskx...(9) となります。f(0)=0よりB=0となり、f(L)=0よりAsinkL=0ですから kL=nπ 即ち k=nπ/L...(10) となります。結局 f(x)=Asin(nπx/L)...(11) です。それでu=fcos(ωt+φ)ですから u=A(sin(nπx/L))(cos(ωt+φ))...(11) となります。ここでωは(7)より ω=k√(T/σ)=(nπ/L)√(T/σ)...(12) です。(12)からωはnにより無数にあることになります。線型微分方程式は異なるnに対する全ての解を重ね合わせることが出来ますから解としては u=ΣA_n(sin(nπx/L)(cosω_n+φ) ということになります。 この内容なら勉強には古典ですが、スレーターとフランクの本「理論物理学入門」（井上健 訳）がぴったりです。
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- Ae610
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質問者が「高校生」なのか「それより上の学生」なのかは分からないが・・・、 思うに、質問者が先ず学習すべきは「国語」（正しい入力の仕方）であるように思う・・！ 弦の「変異」ではなくて「変位」・・・！ 法手式・・？？？ a^2/at^2・・・一瞬笑うしかない！・・と思ったが、これは冷静に考えると記号(∂)が無かったための代用であろうと推測出来たので、まあこれは「良し」としよう。 ・・・言いたい事は、自分で入力した内容を今一度読み返して確認してみるという事である！！ 質問者が高校生（・・・を続けているの）ならば、まだ此の手の方程式の名前はまだ習わないかも知れない。 1.「波動方程式」・・・という名前で知られている。 2.「Ａ」って何だ・・・？？ 高校では(∂/∂t),(∂/∂x)・・・は、まだ習わないと思う。 質問者が「数学」を履修していて「微分」という言葉を知っているのなら(d/dt),(d/dx)という記号は見た事があると思う。 別にどうでも良い事だが・・・、 高校で「物理」(・・・や「数学III」を取っていなかった？)者が何でこの様な問題にチャレンジしようと思ったのか・・・？ チャレンジするからには、前提となるべき基礎事項がベースにないと、問題（ここでは与えられた微分方程式）の意味すら理解できないことになってしまう。 此の手の微分方程式の意味を学びたいのならば、「物理学」（・・・の中の「波動」）を学習する必要があるし、微分方程式の解法を学びたいのならば「微分積分」を学習する必要がある。 質問者のバックグラウンドが全然分からないのと質問文との内容から、当方が感じた事を書かせて頂いた・・！ 何のバックグラウンドも持ち合わせていなくて、いきなりこんな問題を解こうとしても挫折するだけだと思う・・！ 問題の双曲型（偏）微分方程式自体は親切に誘導までしてあるので、それに従っていけばよいから回答すること自体は難しくはない。
お礼
ご親切に詳細にわたる解説ありがとうございます。 まずは微積とと教えていただいた本を借りて勉強しようと思います。 本当にありがとうございました。