連分数展開問題

質問

x^2 - 41y^2 = 1 or -1 の整数会を求めてください。

自分は連分数展開で、一つの解しか求めませんでしたが、また他の解があると思います。
何方か、この問題を教えていただけませんか。
よろしくお願いします

回答No.1

ramayana

αを41の平方根として、β=32+5α、γ=32-5αとします。すると、すべての解は、nを任意の整数として、

β^n = x+yα　又は　γ^n = x+yα

として得られます。

なお、βやγは、実2次体の「基本単数」と呼ばれるものです。連分数のテクニックで計算することができます。