マクローリン展開の問題です。

質問

マクローリン展開の問題です。

f(x)=log(cosx)のマクローリン展開を8次の項まで求めよ。ただし、係数は全て既約分数または整数で表せ。

答えが配布されておらず、考え方が分かりません・・・

ご回答よろしくお願い致します!!

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

実際に、やってみよう。

log(1 + h) = h - (1/2)h^2 + (1/3)h^3 - (1/4)h^4 + o(h^4)
cos x = 1 - (1/2!)x^2 + (1/4!)x^4 - (1/6!)x^6 + (1/8!)x^8 + o(x^8)
を使って、

log(cos x) = …

= { - (1/2)x^2 + (1/24)x^4 - (1/720)x^6 + (1/40320)x^8 + o(x^8) }
-(1/2){ - (1/2)x^2 + (1/24)x^4 - (1/720)x^6 + o(x^6) }^2
+(1/3){ - (1/2)x^2 + (1/24)x^4 + o(x^4) }^3
-(1/4){ - (1/2)x^2 + o(x^2) }^4
+ o(x^8)

= { - (1/2)x^2 + (1/24)x^4 - (1/720)x^6 + (1/40320)x^8 + o(x^8) }
-(1/2){ (1/4)x^4 - (1/24)x^6 + (1/320)x^8 + o(x^8) }
+(1/3){ - (1/8)x^6 + (1/32)x^8 + o(x^8) }
-(1/4){ (1/16)x^8 + o(x^8) }
+ o(x^8)

= (-1/2)x^2 + { (1/24) + (-1/2)(1/4) }x^4 + { (-1/720) + (-1/2)(-1/24) + (1/3)(-1/8) }x^6
+ { (1/40320) + (-1/2)(1/320) + (1/3)(1/32) + (-1/2)(1/16) }x^8 + o(x^8)

= - (1/2)x^2 - (1/12)x^4 - (1/45)x^6 - (17/2520)x^8 + o(x^8)

正直しんどいけれど、
log と cos を級数展開した後は、多項式の計算に過ぎない。

お礼

本当に、正直しんどかったです笑

でもご丁寧に回答していただいたおかげで、大変参考になりました！
どうもありがとうございました！

回答No.2

alice_44

log z の z = 1 中心のテーラー展開に、
z = cos x をマクローリン展開してから代入する。

1 - cos x は O(x^2) だから、f を 8 次まで展開するには、
log のテーラー展開は 4 次までで十分であり、
代入計算は、高次項を o(x^8) にまとめながら進めればよい。

お礼

お陰様で答えまで辿り着くことができました！

ご回答どうもありがとうございました！

回答No.1

aquatarku5

マクローリン展開は、
関数f(x)をΣ_{n=0～∞}f^(n)(0)/n!・x^n
のように、n次導関数f^(n)(x)のx=0での値を
用いて級数に展開するものです。

f^(8)(0)まで、必死に求めてみてください。

f'(x)=-sinx/cosx
　f'(x)cosx=-sinx
　f''(x)cosx-f'(x)sinx=-cosx
　f'''(x)cosx-2f'(x)sinx-f'(x)cosx=-sinx
　・・・
である程度の規則性はつかめると思います。

また、f'(x)=-tanxなので、tanxのマクローリン
展開の式が活用できます。

展開式のコタエ=-(x^2/2+x^4/12+x^6/45+○x^8/●+・・・)

※「○/●」の計算はトライください。

お礼

必死でf^(8)(0)まで求めてみました(>_<)
おかげさまで答えまで辿り着けました・・・

ご回答どうもありがとうございました！