ベストアンサー 三角関数の連分数展開について 2021/07/25 04:29 sin(x) を連分数展開したいのですが、画像の青い下線部への式変形が理解できません。分かる方教えてほしいです。 ↓画像引用元 http://cosmos.art.coocan.jp/cf/cf56.htm 画像を拡大する みんなの回答 (2) 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー f272 ベストアンサー率46% (8469/18131) 2021/07/28 17:57 回答No.2 こんな風に式変形しているのだけれど... 画像を拡大する 質問者 お礼 2021/08/02 10:19 ありがとうございます。非常に助かりました! 通報する ありがとう 1 広告を見て他の回答を表示する(1) その他の回答 (1) f272 ベストアンサー率46% (8469/18131) 2021/07/26 16:30 回答No.1 添付のように変形するとわかるかな? 画像を拡大する 質問者 補足 2021/07/27 18:21 二行目から三行目の連分数展開が理解できないです...。 通報する ありがとう 1 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 連分数とフィボナッチ数列について http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/renbunsuu/renbunsuu.htm 連分数を勉強しています。 このサイトの内容に少し疑問があるので、質問しました。 どうして連分数は無限なのに、X+1/Xと表されるのでしょうか。 初歩的ですいません。 三角関数の複素フーリエ級数展開 f(x)=sin^3(x)を複素フーリエ級数展開する問題なんですけども Cn=1/2π∫[-π,π]sin^3(x)*exp(-jnx)dx =1/2π∫[-π,π]{(exp(jx)-exp(-jx))/2j}^3*exp(-jnx)dx と変形した後の式の整理ができません。というか↑の変形でいいのでしょうか? 有理関数を部分分数展開する際に・・・ 今、有利関数を部分分数展開するところを学習しているのですが、ちょっと疑問に思ったことがあるので質問させていただきます。 参考書には例として以下のように乗っています。 P(x)/Q(x)=1/(x-1)(x+3)^3(x^2+2x+2)^2 =A/(x-1) + B/(x+3) + C/(x+3)^2 + D/(x+3)^3+Ex + F/(x^2+2x+2) + Gx+H(x^2+2x+2)^2 (但し(Pの次数)<(Qの次数)) のように載っています。つまりは積分ができるように変形しているにすぎないのですが、ここで1つ疑問ができたのです。 分母の次数より分子の次数が小さくしなければならにわけですが、分母が(x+3)^2や(x^2+2x+2)の次数は2時ですので次数は定数か1次になるわけです。 部分分数展開するときは分子を文字で置くのがセオリーですが、定数か1次式でおく判断はどのようにつけたらいいのでしょうか?(分子をAとおくのかAx+Bとおくのか) ある問題では分母が2次式で分子は定数で置いたり、ある問題では分母が2次で分子は1次で置いてたりしてます。 例 1/(x-1)(x^2+1)^2 =A/(x-1) + Bx+C/(x^2+1) + Dx+E/(x^2+1)^2 とおくのが正解になっています。第1項は納得なのですが 第2項は分母が2次なので2次より小さければよいので定数ではいけないのか?第3項に至っては分母が4次式になるので分子を3次式もしくは2次式、定数でなくてはいいのか?というのが質問の核となる部分です。 随分ながくなりましたがどうかご存知の方がいらっしゃいましたらよろしくお願い致します。 三角比の問題 sinθ+cosθ=(√3-1)/2 90°<θ<180°のときsinθcosθ,(sin^3)θ+(cos^3)θ, 〚・・以下問題省略〛の値を求めよ。 なんですが、条件式を平方して展開して解答を出す。3乗は因数分解または式変形で解くことは いいのですが、 もし、条件式から、sinθ+cosθ=√3/2 -1/2 と考えて,恒等式のように, sinθ=√3/2 ,cosθ=-1/2 としてしまい計算しても答えは同じになります。 これでもいいのでしょうか? エジプト分数表示、有理数を単位分数の和で表す エジプト分数表示と呼ばれる、有理数(ただし0から1の間)を単位分数の和で表すことについて調べています。 http://www.interq.or.jp/www-user/nozato/pseudo/noteof/note5.html によると、 p/qより小さい単位分数のうち最大のもの(1/n)をとってきて、 q/p=1/n+… と考え、残りを同様に続けると有限回で終わることが示されています。これは欲張り展開法とも呼ばれるそうです。 次に、 http://www5d.biglobe.ne.jp/~bongo/math/math01.html によると、 n/m が単位分数分解できることを示すのに、 「n と m が互いに素より、 an - bm = 1 となる a,b ∈ N が存在する」 ことを用いて、示されています。 あと、 http://web2.incl.ne.jp/yaoki/abunsuu.htm によると、 「リンド・パピルスの方法の推理」とよばれる次の方法があるそうです。 1.元の分母を越えない最大の3の倍数をみつける。 2.その数を3で割り、2を掛ける。 その数が求める1つの分母になる。 3.与えられた分数から2)で求められた分数を引く。 分子が1のとき、求めるもう1つの分数となる。 分子が2のとき、約分出来るときは、約分した分数が、求めるもう1つの分数となる。 約分出来ないとき、1)にもどる。 分子が3のとき1+2に分割して2、3の分数が求められる。 で、このリンド・パピルスの方法でどの有理数も単位分数の和で表すことができるのかがわかりませんので教えていただけないでしょうか? また、単位分数分解で知られている一般的なおもしろい結果がありましたら、教えていただけないでしょうか。 ガンマ関数の式変形 ガンマ関数の式変形 添付画像の一番上の式が導出できません。添付画像下方が自分で計算している途中のものです。 (-1)のm乗と、ガンマ関数の分母と分子が反対のような感じになっているのですが、 何かまだ式変形があるのでしょうか? www.sci.hyogo-u.ac.jp/maths/master/h11/kunimasa.pdf のページ番号25の一番下の式が出典元です。関係式(1.18)を使うと記載があるのですが、 (1.18)はベッセル函数の漸化式となってしまっています。式の引用が間違っているようです。 よろしくお願いいたします。 数学のフーリエ級数展開およびデルタ関数の問題です! 数学のフーリエ級数展開、およびデルタ関数の問題です!助けて下さい(><;) (1) f(x)=e^x (0≦x≦π) をフーリエ・サイン級数に展開せよ。 (2) f(x) (-π<x<π) のフーリエ級数展開に対して、パーセバルの等式 (1/π)∫[-π,π]|f(x)|^2・dx=(a0^2/2)+Σ[n=1,∞](an^2+bn^2)が成り立つことを利用して Σ[n=1,∞](1-(-1)^n・e^π)^2・n^2/(n^2+1)^2の値を求めよ。 (3)デルタ関数δ(x)に対して∫[-π/2,π/2]δ(sinx)cosxdxの値を求めよ。 以上の3問です。本当に困っています(;_;) 途中計算などは出来る限り詳しく書いてもらえると助かります。 これでは読みにくいと思われるので問題の写真を貼っておきます。 http://book.geocities.jp/yukarin6127/f_kyusu.htm よろしくお願い致しますm(_)m 黄金比 Wikipediaの黄金比の説明によると美しい連分数を持つとあります。 質問の内容はこの黄金比と連分数を無理に結びつけていないかなのですが、順を追って説明します。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%84%E9%87%91%E6%AF%94 なるほど綺麗だなと実際に計算してみると どんな二次関数も似た構造になることが分かりました。。。 一応式の変形を掲げておきます。 x^2-4x+3=0 という二次方程式があったとして x^2=4x-3 に変形でき、これを両辺 X で割るとx=4-3/x となります。 xの部分に4-3/xを代入していくと連分数になります。 黄金比はx^2-x-1=0の解ですがx^2-nx-n=0(n=1、2、3・・・)ならば nの値にしたがって黄金比のところの連分数の値が1、2、3と変わっていくのが分かります。 つまりnが2以上の黄金比でなくても綺麗な形の連分数になるということです。 しかし、nが2以上の解が図形の比率で意味を持つというのを聞いたことがありません。 ゆえに無理に黄金比と連分数を結びつけて、神秘性をこじつけている気がしているのです。 それとも何か数学的に重要な意味があるのでしょうか? 連分数展開 有理数や無理数の連分数展開のやり方が分からないのですが、どうしたらできるのでしょうか? 逆に√2の連分数から√2を求める事には成功しています。 x+1=2+(1/x+1)をときました。 同じ感じで逆に計算していけば連分数が求まると思ったのですが、なかなかそうもいきませんでした。 連分数展開が分かりません。 √6の連分数展開ができません・・・。 よろしくお願いします。 積分、逆三角関数の問いについて教えてください。 大学の微積の問題に困ってます。お願いします。 次の(4)(5)はどうといたらよいでしょうか?よろしくお願いします。 (1)x/1+x⁴を部分分数に展開せよ。 (2)x²+1∓√2xを平方完成せよ。 (3)(2)を利用して、(1)の式を積分せよ (4)tan⁻¹(1+x√2)+tan⁻¹{1/(1+x√2)}の値を出せ。 (5)tan⁻¹{1/(1+x√2)}+tan⁻¹(-1+x√2)+C=tan⁻¹(x²) と書ける。その理由と定数Cを決定せよ。 自分の解答 (1)~(3)はx/1+x⁴={1/(2√2)}{1/(x^2 + 1 - (√2)x) - 1/(x^2 + 1 + (√2)x)} として、(2)を使い、 ∫x/1+x⁴dx=1/2{-tan⁻¹(1+x√2)+tan⁻¹(-1+x√2)}+A (Aは積分定数) という形で、(3)の答えが出ました。 (4)はtan⁻¹(1+x√2)=α、tan⁻¹{1/(1+x√2)}=βと置く。 tanαtanβ=1より、 sinαsinβ/cosαcosβ=1 ⇔cosαcosβ-sinαsinβ=0 ⇔cos<α+β>=0 ⇔α+β=(π/2)×n (nは自然数)・・答 となりました。 (5)は、c=0と計算上、出ました。しかし、とても煩雑な計算でした。筋の良い計算方法はありますでしょうか?また、(5)と書ける理由がわかりません。x²が平方完成したときに出てきたり、tan⁻¹{1/(1+x√2)}+tan⁻¹(-1+x√2)は(4)と似ていますが、何から由来して、(5)のようにかけるのでしょうか? (4)(5)の解答、不明点について、教えてください。 よろしくお願いします。 積分正弦関数の近似 ∫(sinx/x)dx の不定積分は ∫(sinx/x)dx = x -x^3/18 + x^5/600 - … (1) とするとxの小さい所でしか使えません。テイラー展開より広範囲で使える近似としてはPade近似があります。[3/3]型のPade近似を求めてみると Si(x) ≒ (900x - 23x^3)/(900 + 27x^2) となりましたが、これもxの大きい所でそれほど良くはないようです(Pade近似は特異点のある関数の方が適しているのかもしれません)。しかしxの大きい所では ∫(sinx/x)dx = π/2 - cosx/x -sinx/x^2 + 2cosx/x^3 … (2) という展開があるので(1)と(2)を補間できるような近似があれば最も良いと思います。Pade近似か連分数展開のようなものでこの二つを補間できるような式はできないでしょうか。 ラプラス逆変換について 独学で物理学を勉強しています。が、行き詰まってしまいました。 1/(s-2)^2(s^2-4s+8)をラプラス逆変換する問題なんですが、 http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-1-4Rapurasuhyou.htm 部分分数展開をして、上のようなラプラス変換表を使ってやろうとしても、分子が1なので形が見つかりません。一応、自分は下のように部分分数展開しました。どうか知恵を貸してください。 1/4(s-2)^2 - 1/4(s^2-4s+8)=??? 連分数展開問題 x^2 - 41y^2 = 1 or -1 の整数会を求めてください。 自分は連分数展開で、一つの解しか求めませんでしたが、また他の解があると思います。 何方か、この問題を教えていただけませんか。 よろしくお願いします ガウスの定理に関連した質問です。 画像中の式について質問があります。 ↓拡大画像 http://www.fastpic.jp/images.php?file=8244975966.jpg 質問(1) 画像中の式変形で 『ガウスの定理を用いると ∫ρv_ndS=∫_v∇・(ρ↑v)dV』 などとありますが、ここの変形がわからないので説明してもらえませんか? よろしくお願いします。 分数を積分すると、どうして対数が出てくるのでしょうか? 微分方程式の教科書を読んでいると、 被積分関数 1/x(x^nで、n=-1のとき) 積分関数 logex+C という、公式のようなものが出てきました。ちょっと表記がわかりにくいと思いますので、添付画像や、この公式らしきものを紹介しているリンク先 http://naop.jp/text/3/seki2.html 等もご覧いただきたいのですが、どうして1/xを積分すると、logex+Cが、出てくるのでしょうか? 似たような質問も以前、あったみたいです。 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2626092.html でも私は、哲学的な意味ではなく、どのようにして1/xからlogex+Cを導き出せばよいのか、間の式の展開がどうなっているのかが知りたいです(>_<) 皆様のお力をお借しいただければ幸いです。 よろしくお願いします。 三角関数の展開 初歩的な質問なのですが、f(x)=sin x を微分すると、f´(x)= cos x=sin(x+π/2)と展開されていました。cos x=sin(x+π/2)となぜなるのでしょうか? 数学についての質問です。 添付した画像中の3行目から4行目への式変形についての質問です。 F(x,y)にはΣが含まれているのに、F(x,y)を代入したあとの式では消えているのでしょうか?下の方の式でG(x,y)を代入したところでも同様にΣが消えています。 もしよろしければ、F(x,y)にsin(mπx/a)・sin(nπy/a)をかけて、xとyでそれぞれ0→aまで積分することでDmが導き出せる原理も教えてください。 http://www.fastpic.jp/images.php?file=5751812154.jpg 式の変形 添付画像の式変形について教えてください。元ネタは http://physics.thick.jp/Physical_Mathematics/Section3/3-7.html です。 連分数について 問い: 〔(3x-5)/(1-1/(1-1/(x+1)))〕-〔x(2x-3)/(1+1/(1-1/(x-1)))〕を簡単にせよ。 分かりにくいと思うので〔〕でくくりました。 〔A〕-〔B〕です。 連分数の減算ですが、どう手を着けて良いのか分かりません。 先ずは分数〔A〕と分数〔B〕を通分するのですか? お願いします。 注目のQ&A 「前置詞」が入った曲といえば? 新幹線で駅弁食べますか? ポテチを毎日3袋ずつ食べています。 優しいモラハラの見抜き方ってあるのか モテる女性の特徴は? 口蓋裂と結婚 らくになりたい 喪女の恋愛、結婚 炭酸水の使い道は キリスト教やユダヤ教は、人殺しは地獄行きですか? カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学(農工医) 学校 受験・進学 留学 その他(学問・教育) カテゴリ一覧を見る あなたにピッタリな商品が見つかる! OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど
お礼
ありがとうございます。非常に助かりました!