分数式の展開・・？

質問

分数式を分解する規則を教えたいのですが、忘れてしまい、どう検索すればいいのかわからなかったので質問させてください。
たとえば、
1/(x + 1)(x + 2) = a/(x + 1) + b/(x + 2)
という風に分解したいとき

1/(x + 1)(x + 2)(x + 3)
と
1/(x + 1)^2(x + 2)(x + 3)
はどういう風に展開できましたっけ＾＾；
どういう組み合わせの項が出来るか忘れてしまいました。。。

回答No.1

noname#6715 · ベストアンサー

(1)
1/(x + 1)(x + 2)(x + 3)
=a/(x+1)+b/(x+2)+c/(x+3)
とします。

すると通分した分子が
a(x+2)(x+3)+b(x+1)(x+3)+c(x+1)(x+2)=1
(a+b+c)x^2+(5a+4b+3c)x+(6a+3b+2c)=1

よりxの恒等式だから

a+b+c=0・・・・A
5a+4b+3c=0 ・・B
6a+3b+2c=1 ・・C

あとは連立方程式

2a+2b+2c=0・・・2*A
6a+3b+2c=1・・・C

上から下を引いて

-4a-b=-1
b=-4a+1・・D

BDより

5a+4(-4a+1)+3c=0

-11a+3c+4=0
c=(11a-4)/3・・・E

ここでADEより

a+b+c
=a-4a+1+(11a-4)/3
=(-9a+3+11a-4)/3
=(2a-1)/3=0

a=1/2
b=-1
c=1/2

回答No.7

keyguy

a,b,cをそれぞれ定数として
1/(x + 1)/(x + 2)/(x + 3)=
a/(x + 1)+b/(x + 2)+c/(x + 3)
・・・(*)
となることが保証（証明）されているので
a(x+2)(x+3)+b(x+1)(x+3)+c(x+1)(x+2)=1
においてxにいくつかの数を代入して求めたa,b,cは(*)を満たすことが保証される。
必ずしも係数比較でa,b,cを求める必要は無い。
論理的に正しい以上代入法のほうが速いし楽である。

回答No.6

ONEONE

すみません。完全に忘れてました＞十分条件

回答No.5

noname#6715

#1,#2です

>himajin2003さんのをちょっと拝借いたします。
では私は#3様の解説を拝借します。m(_ _)m

>a(x+2)(x+3)+b(x+1)(x+3)+c(x+1)(x+2)=1
>(中略)
>とこっちのほうが楽かも。

ただし、これは必要条件から求めていったものなので
十分性の証明が必要になる。

回答No.4

keyguy

1/(x + 1)/(x + 2)/(x + 3)=
a/(x + 1)+b/(x + 2)+c/(x + 3)
とできる。

1/(x + 1)/(x + 2)/(x + 3)^2=
a/(x + 1)+b/(x + 2)+c/(x + 3)+d/(x + 3)^2
とできる。

1/(x + 1)/(x + 2)/(x + 3)^3=
a/(x + 1)+b/(x + 2)+c/(x + 3)+d/(x + 3)^2+e/(x + 3)^3
とできる。

回答No.3

ONEONE

himajin2003さんのをちょっと拝借いたします。

a(x+2)(x+3)+b(x+1)(x+3)+c(x+1)(x+2)=1
x = -1を代入すれば第二項、第三項が0となり
a*1*2 = 1
x = -3を代入すれば第一項、第二項が0となり
c*(-2)*(-1) = 1
x = -2を代入すれば 第一項、第三項が0となり
b*(-1)*(1) = 1

とこっちのほうが楽かも。

回答No.2

noname#6715

a/(x+1)^2+b/(x+1)(x+2)+c/(x+1)(x+3)
の分子は
a(x+2)(x+3)+b(x+1)(x+3)+c(x+1)(x+2)=1
話はさっきとまったく一緒なので省略。