連分数の性質についての質問

質問

連分数 P(n)/Q(n) において

P(k-1)/Q(k-1) ＜ P(k)/Q(k) (0≦k≦n)

の関係にある時に

P(k-1)/Q(k-1) ＜ (y / x) ＜ P(k)/Q(k)　　 x,yは正の整数
Q(k-1) ＜ x ＜ Q(k)

なる、分数 y/x は存在するのでしょうか？
証明があると嬉しいです。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

(7/4) < (y/x) < (240/137)
において
(240/137) - (7/4) = ((-1)^4)/(137*4) = 1/548
であって
0 < (y/x) - (7/4) = (4y-7x)/(4x) < 1/(137*4)　　　....（Ａ）
ところが
4 < x < 137
とすれば0<(4x)<(137*4)なのだから0<(4y-7x)<1でなければならないがそのようなx，yは存在しない。

P(k)/Q(k) - P(k-1)/Q(k-1) = ((-1)^(k+1))/(Q(k)*Q(k-1))
が成り立つから，一般化も容易だろう。

お礼

ああそうか、なるほど！
ありがとうございます！
助かりました。また、よろしくお願いします。

回答No.1

f272

あなたの書いているP(n)とかQ(n) とかは，いったい何？

補足

すいません。一般的に書こうとして変な書き方になってしまいました。
例えば、(240/137)を連分数で表すと、
[1,1,3,34]
となります。
ここで、
[1,1,3]=7/4
[1,1,3,24]=240/137
なので、
(7/4) < (y/x) < (240/137) x,yは正の整数
4 < x < 137
を満たす、x,yが存在するかどうかを知りたいのです。

宜しくお願いします。