連分数に関する数学の問題について教えてください。

質問

以下の問題です。

Find the continued fraction expansions of √(n^2 + 1) and √(n^2 + n), where n is a positive integer.

√(n^2 + 1) と√(n^2 + n)の連分数展開を見つけろ。ここで、ｎは正の整数である。

この問題を教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

x=√(n^2+1)とおくと

x^2=n^2+1
x^2-n^2=(x-n)(x+n)=1

x=n+1/(n+x)

これを繰り返し用いると

x
=n+1/(n+x)
=n+1/(2n+1/(n+x))
…

つまり

√(n^2+1)
=n+1/(2n+1/(2n+1/(2n+…))

x=√(n^2+n)とおくと

x^2=n^2+n
(x-n)(x+n)=n

x=n+n/(n+x)

これを繰り返し用いると

√(n^2+n)
=n+n/(2n+n/(2n+n/(2n+…)))

お礼

なるほど！
文字のまま繰り返していけばいいんですね。
ありがとうございます。