複数の特異点を持つ関数のローラン展開

質問

複数の特異点を持つ関数のローラン展開
f(z) = 1/(z^2 - 1) を z=1 でべき級数展開しよう。
f(z) = 1/(z-1) * 1/(z+1)
より、z=±1で正則でない。展開の中心 z=1 に対して距離2となる z=-1 で展開ができないため、領域を分けて展開する。
|z-1|<2 では、f(z) を z-1 で表すために、

　　　1/(z+1) = 1/2 * 1/[ 1 - {(z-1)/-2} ]　　　←

と変形すると、
|(z-1)/-2| < 1
より無限等比級数の関係 a/(1-u) = Σ[n=0,∞] au^2, (|u|<1) を用いて、

・・・と続くのですが、実際にどうやって変形をしたのかが分かりません。
実際にどうやって変形をするのか教えてください。

因みに、逆算すれば、
1/2 * 1/[ 1 - {(z-1)/-2} ]
= 1/[ 2* [ 1 - {(z-1)/-2} ] ]
= 1/[ 2 - 2{(z-1)/-2} ]
= 1/[ 2 + (z-1) ]
= 1/[ 2 + z - 1 ]
= 1/(z + 1)
になるのは分かります。
では、お願いします。

回答No.2

151A48 · ベストアンサー

♯１です。
1/(z+1)　の分母，
z=1での展開なのでz-1を出したいのでz+1=2+(z-1)とする。
1/(1-r) =1+r+r^2 +r^3+・・・・・を使いたいので２の所を１にするために２で割り
2{1+(z-1)/2}
+の所を-にしてrを-(z-1)/2にする。
これで，初項１，公比-(z-1)/2の無限等比級数の和とみなせる（全体に1/2が掛かりますが）。

1/(z+1)=(1/2){1+(-(z-1)/2)+(-(z-1)/2)^2 +(-(z-1)/2)^3・・・・・}

あとはこれに1/(z-1)をかけて

(1/2){1/(z-1)-(1/2)+(z-1)/4-・・・}
のようになっていきます。

Laurent展開の係数の公式はあるのですが，係数の一意性が知られているので，何らかの方法で展開できればそれが答えということでしょうか。無限等比級数の和の公式，テイラー展開などがよく利用されます。

お礼

ありがとうございます。
順の追っての説明、分かりやすかったです。
どう考えても自分一人で解くのは無理でした。
ありがとうございました！

回答No.1

151A48

逆算が確かめられるのでしたら問題ないと思うのですが・・・。簡単のため
u=z-1とおくと
1/(z-1)(z+1) =1/u(u+2)
式変形の目的は
1/(u+2)の部分を
1/(u+2)=(1/2){1/(1-(-u/2))}=(1/2){1+(-u/2)+(-u/2)^2 +(-u/2)^3+ ・・・・・}
と，等比級数の和
1+r+r^2+r^3+・・・・・=1/(1-r)
が使える形にすることです。
|u|<2なので|u/2|<1で級数は収束。

お礼

ありがとうございます。
すみません、実は昨夜からずっと考えているのですが、まだ理解できていません（ネットの調子も悪くて繋げませんでした）。

> 1/(z-1)(z+1) =1/u(u+2)
> 式変形の目的は
> 1/(u+2)の部分を
> 1/(u+2)=(1/2){1/(1-(-u/2))}=(1/2){1+(-u/2)+(-u/2)^2 +(-u/2)^3+ ・・・・・}
> と，等比級数の和
> 1+r+r^2+r^3+・・・・・=1/(1-r)
> が使える形にすることです。

ここまではなんとか理解できていると思います。
1+r+r^2+r^3+・・・・・=1/(1-r)は -1<r<1 の範囲に限って有効なのですね。

ただ、この質問では、（逆算の逆算である）

1/(z + 1)
= ：
= ：
= 1/2 * 1/[ 1 - {(z-1)/-2} ]

の過程（：の部分）が知りたいです。

> |u|<2なので|u/2|<1で級数は収束。

これに関しては二つ質問があります。

1. 解答の分母が2ではなく-2になっているのは何故ですか？
2. |u/2|<1 というのは、わざわざ1/(z+1) = 1/2 * 1/[ 1 - {(z-1)/-2} ]と変形しなくても、
> |u|<2なので|u/2|<1で級数は収束。
と計算できませんか？

では、よろしくお願いします。