複数の特異点を持つ関数のローラン展開

質問

次の関数を括弧内を展開の中心として、べき級数展開せよ。
f(z) = 1/(z+j)
(z=j)

という問題で、|z-j|<2 のときの自分の答えが

　　　　　-Σ[n=0,∞] (j/2)^(n+1) * (z-j)^n

になりました。しかし、本の答えは

　　　　　Σ[n=0,∞] {(-1)^n} / {(2j)^(n+1)} * (z-j)^n

となっています。これらは等価でしょうか？

実は、この直前の問題が
f(z) = 1/{ (z+j)(z-j) }
(z=j)
で、|z-j|<2 のときの本の答えが

　　　　　-Σ[n=0,∞] (j/2)^(n+1) * (z-j)^(n-1)

だったので、今回の答えとの違いは最後に1/(z-j)を掛けるか掛けないかだけだと思っています。
違いますでしょうか？では、よろしくお願いします。

回答No.1

m0r1_2006 · ベストアンサー

本の答えで
(-1)^n = (j)^(2n) と置き換えて，
分母分子の j^n を消して，
1/j = -j を代入すれば，
君の出した答えになる．

お礼

ありがとうございます。
おっしゃるとおり、
(-1)^n = (j)^(2n)
と
1/j = -j
の置換で解けました！
本の答えと同じだと分かってホッとしました。
そんな置換の公式がスッと出てくるようになりたいです。
ありがとうございました！

回答No.2

rnakamra

OKです。

本の答えを変形していきましょう。
Σ[n=0,∞] {(-1)^n} / {(2j)^(n+1)} * (z-j)^n=Σ[n=0,∞] {(-1)^n} / {(-2/j)^(n+1)} * (z-j)^n
=Σ[n=0,∞] {(-1)^n} {(-j/ 2)^(n+1)} * (z-j)^n
=Σ[n=0,∞] {(-1)^n} {(-1)^(n+1)}{(j/ 2)^(n+1)} * (z-j)^n
=Σ[n=0,∞] {(-1)^(2n+1)}{(j/ 2)^(n+1)} * (z-j)^n
=Σ[n=0,∞] (-1){(j/ 2)^(n+1)} * (z-j)^n
=-Σ[n=0,∞]{(j/ 2)^(n+1)} * (z-j)^n

jを分母から分子に持っていくときに-1が現れます。(1/j=-j)
この(-1)^(n+1)と前にある(-1)^nをかけると(-1)^(2n+1)となり、(-1)の奇数乗ですのでこれは-1となります。

お礼

すみません、F5(更新)を押さずにベスト・アンサーを押してしまいました・・・せっかくの回答を読んでなかったです・・・すみません。
たった今、その方法で計算してみて正しいことが判明しました。
(1/j=-j)でjを分母から分子に持っていくときに-1が現れるのと、
(-1)^(2n+1)が(-1)^1 * (-1)^(2n)になるのがミソですね。
詳細な計算、ありがとうございました！