ローラン展開の問題

質問

f(z)はz=aをのぞく単連結領域Dで正則であるとする。z=aの近傍|z-a|<Eでf(z)は有界|f(z)|<=Mとする。
1）z=aでのローラン展開の係数であるCnをf(z)で表せ。
2）0<r<Eを満たすrに大して以下の不等式を示せ。
|C-n|<=Mr^n

１問目からどのように解いてよいかわかりません。やり方を教えてください。お願いします。

回答No.1

K_George · ベストアンサー

以下iで虚数単位を表します。

1) http://nazolab.net/l/v/b377 導出法は複素関数論の教科書に載っているはずです。

2) 1)の積分路としてaを中心とする半径rの円周とると、http://nazolab.net/l/v/5ff7

補足

回答ありがとうございます．
この問題に加えて以下もお願いできますでしょうか?
C-n = 0を示すことと、^f(z) = Σ(n=0から∞)Cn(z-a)^nと定義すると^f(z)を用いてf(z)はz=aにおいて除去可能な特異点であることを示すこと．

回答No.2

K_George

0<r<Eをみたす任意のrに対して2)の不等式が成り立つのでr→0として、C_{-n}=0がわかります。
fのaの周りのローラン級数において負の次数の項がすべて0なので、f(z)と^f(z)は0<|z-a|<Eのとき等しく^f（ｚ）はz=aでも正則だから、^f(z)によってf(z)はz=aにおいても正則な函数に拡張できz=aはf(z)の除去可能な特異点であることがわかります。

お礼

ありがとうございました。