【不等式の証明】

質問

実数a,b,c,に対して

（１)2(a^4+b^4)≧(a+b)(a^2+b^2)

（２）3(a^4+b^4+c^4)≧(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)

解ける方いらっしゃいましたら、
解説お願いしますm(_)m

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞実数a,b,c,に対して
ａ^4＋ｂ^4≧ａ^3ｂ＋ａｂ^3　……（＊）を示します。これを後で使います。
ａ^4＋ｂ^4－（ａ^3ｂ＋ａｂ^3）
＝ａ^3（ａ－ｂ）－ｂ^3（ａ－ｂ）
＝（ａ－ｂ）（ａ^3－ｂ^3）
＝（ａ－ｂ）^2（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2）
ここで、
ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2
＝（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2/4）－ｂ^2/4＋ｂ^2
＝（ａ＋ｂ/2）^2＋3ｂ^2/4≧０　だから、
ａ^4＋ｂ^4－（ａ^3ｂ＋ａｂ^3）
＝（ａ－ｂ）^2（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2）≧０
よって、ａ^4＋ｂ^4≧ａ^3ｂ＋ａｂ^3
等号成立は、ａ＝ｂのとき

＞（１)2(a^4+b^4)≧(a+b)(a^2+b^2)
これは、2(a^4+b^4)≧(a+b)(a^3+b^3)　ではないですか？
（＊）より、
ａ^4＋ｂ^4≧ａ^3ｂ＋ａｂ^3
両辺に（ａ^4＋ｂ^4）を足すと、
右辺＝（ａ^4＋ｂ^4）＋ａ^3ｂ＋ａｂ^3
＝ａ^3（ａ＋ｂ）＋ｂ^3（ａ＋ｂ）
＝（ａ＋ｂ）（ａ^3＋ｂ^3）
左辺＝２（ａ^4＋ｂ^4）
よって、不等式は成り立つ。
等号成立は、（＊）より、ａ＝ｂのとき

＞（２）3(a^4+b^4+c^4)≧(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)
（＊）より、
ａ^4＋ｂ^4≧ａ^3ｂ＋ａｂ^3
ｂ^4＋ｃ^4≧ｂ^3ｃ＋ｂｃ^3
ｃ^4＋ａ^4≧ｃ^3ａ＋ｃａ^3
両辺同士加えると、
２（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4）
　　≧（ａ^3ｂ＋ａｂ^3）＋（ｂ^3ｃ＋ｂｃ^3）＋（ｃ^3ａ＋ｃａ^3）
右辺＝ａ（ｂ^3＋ｃ^3）＋ｂ（ｃ^3＋ａ^3）＋ｃ（ａ^3＋ｂ^3）
両辺に（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4）を加えると、
左辺＝３（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4）
右辺＝（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4）
　　　　　　＋ａ（ｂ^3＋ｃ^3）＋ｂ（ｃ^3＋ａ^3）＋ｃ（ａ^3＋ｂ^3）
＝ａ（ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3）＋ｂ（ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3）＋ｃ（ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3）
＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3）
よって、不等式は成り立つ。
等号成立は、（＊）より、ａ＝ｂ，ｂ＝ｃ，ｃ＝ａのときだから、
ａ＝ｂ＝ｃのとき

計算を確認してみて下さい。

お礼

ありがとうございました!

すごく助かりました(><)

回答No.1

mister_moonlight

この証明問題は(1)を使って(2)を証明する問題なんだが、質問者の書き込みミスのように思う。
(1)と(2)の右辺の次数が違う。試してみると、(2)の次数が正しい。

(1)
左辺-右辺＝因数分解ができて＝(a＾2-ab+b＾2)*(a-b)＾2≧0
等号は、a＝bの時。共に0の時を含む。

(2)
左辺-右辺＝(a＾4-a＾3*b)＋(a＾4-a＾3*c)＋(b＾4-a*b＾3)＋(b＾4-b＾3*c)＋(c＾4-b*c＾3)＋(c＾4-a*c＾3)＝2つずつ因数分解ができて＝(a＾2+ab+b＾2)*(a-b)＾2＋(b＾2＋bc+c＾2)*(b-c)＾2＋(c＾2+ca+a＾2)*(c-a)＾2≧0
等号は　全て0の場合も含めて　a＝b＝c の時。

(注)
(2)は(1)の不等式を3つ作り、それを足すと証明できるはず。
挑戦してみて。