【面積の問題】

質問

放物線y=x^+px+qをC1とし、放物線y=-x^2をC2とする。
C1は直線y=2x上に頂点をもち、C2と相違なる2点で交わるとする。
C1とC2で囲まれる部分の面積が最大となる実数p、qの値と、
その時の面積を求めよ。

答え
P=4,q=0、面積8/3

ガイド
C1とC2の2つの交点のｘ座標をα、β（α<β)とおくと、α、βは
x^2+px+q=-x^2つまり2x^2+px+p^2/4-p=0の実数解

分かる方がいらっしゃいましたら、
ぜひ解説お願いします…！

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞放物線y=x^+px+qをC1とし、放物線y=-x^2をC2とする。
＞C1は直線y=2x上に頂点をもち、C2と相違なる2点で交わるとする。
＞C1とC2で囲まれる部分の面積が最大となる実数p、qの値と、
＞その時の面積を求めよ。
＞C1とC2の2つの交点のｘ座標をα、β（α<β)とおくと、α、βは
＞x^2+px+q=-x^2つまり2x^2+px+p^2/4-p=0の実数解
Ｃ1：ｙ＝ｘ^2＋ｐｘ＋ｑ
＝（ｘ^2＋ｐｘ＋ｐ^2／４）－ｐ^2／４＋ｑ
＝（ｘ＋ｐ／２）^2－ｐ^2／４＋ｑ
頂点はｙ＝２ｘ上にあるから、－ｐ^2／４＋ｑ＝２×（－ｐ／２）より、
ｑ＝（ｐ^2／４）－ｐ
－ｘ^2＝ｘ^2＋ｐｘ＋ｑより、２ｘ^2＋ｐｘ＋ｑ＝０
この方程式の２解をα、β（α<β)とすると、解と係数の関係より、
α＋β＝－ｐ／２，
αβ＝ｑ／２＝(1/2)｛（ｐ^2／４）－ｐ｝＝（ｐ^2／８）－（ｐ／２）

α^2＋β^2＝（α＋β）^2－２αβ
＝（－ｐ／２）^2－２×｛（ｐ^2／８）－（ｐ／２）｝
＝ｐ
（β－α）^2＝α^2＋β^2－２αβ
＝ｐ－２×｛（ｐ^2／８）－（ｐ／２）｝
＝２ｐ－（ｐ^2／４）
α^2＋αβ＋β^2
＝ｐ＋（ｐ^2／８）－（ｐ／２）
＝（ｐ^2／８）＋（ｐ／２）

面積Ｓ＝∫［α～β］｛－ｘ^2－（ｘ^2＋ｐｘ＋ｑ）｝ｄｘ
＝∫［α～β］（－２ｘ^2－ｐｘ－ｑ）ｄｘ
＝［(-2/3)ｘ^3－(p/2)ｘ^2－ｑｘ］［α～β］
＝(-2/3)（β^3－α^3）－(p/2)（β^2－α^2）－ｑ（β－α）
＝（β－α）｛(-2/3)（β^2＋βα＋α^2）－(p/2)（β＋α）－ｑ｝
ここで、
(-2/3)（β^2＋βα＋α^2）－(p/2)（β＋α）－ｑ
＝(-2/3)｛（ｐ^2／８）＋（ｐ／２）｝－(p/2)（－ｐ／２）－｛（ｐ^2／４）－ｐ｝
＝－ｐ^2／12＋(2/3)ｐ
＝-1/12（ｐ^2－８ｐ＋１６）＋16/12
＝-1/12（ｐ－４）^2＋4/3
ｐ＝４のとき、最大値４／３　このとき、ｑ＝（４^2／４）－４＝０
このとき、（β－α）^2＝２×４－（４^2／４）＝４より、β－α＝２（α<β）
よって、面積Ｓの最大値＝２×（４／３）＝８／３

になりましたが、どうでしょうか？

回答No.3

ferien

ANo.2です。　面積の最大値を微分で求めてみます。

Ｓ（ｐ）＝（β－α）・｛－ｐ^2／12＋(2/3)ｐ｝
＝｛２ｐ－（ｐ^2／４）｝^(1/2)・｛－ｐ^2／12＋(2/3)ｐ｝とおく。
＞x^2+px+q=-x^2つまり2x^2+px+p^2/4-p=0
は、異なる２点で交わるから、
判別式Ｄ＝ｐ^2－４×２×｛p^2/4-p｝＞０
－ｐ^2＋８Ｐ＞０より、ｐ（ｐ－８）＜０
よって、０＜ｐ＜８
Ｓ'（ｐ）＝(1/2)｛２ｐ－（ｐ^2／４）｝^(-1/2)・｛２－（ｐ／２）｝・（－ｐ^2/12＋２ｐ／３）
+｛２ｐ－（ｐ^2／４）｝^(1/2)・（－ｐ／６＋２／３）
＝（ｐ/48）・｛（－ｐ＋４）・（－ｐ＋８）＋２（－ｐ＋８）・（－ｐ＋４）｝／分母
分母＝｛２ｐ－（ｐ^2／４）｝^(1/2)＝β－α＞０
分子＝３・（ｐ／４８）・（ｐ－４）（ｐ－８）
＝（ｐ／１６）・（ｐ－４）・（ｐ－８）
Ｓ'（ｐ）＝０とすると、０＜ｐ＜８で、ｐ＝４
増減表を作ると、０＜ｐ＜８で、ｐ＝４のとき最大値をとる。
Ｓ（４）＝（４^2／８＋４／２）^(1/2)・（－４^2／１２＋２×４／３）
＝２×（４／３）
＝８／３

計算を確認してみて下さい。

回答No.1

asuncion

放物線2つと、直線のグラフを描いてみましたよね？