数Iの問題の解き方を教えてください。

質問

放物線C : y=x^2+ax+2a-6 と x 軸の交点をP , Q とするとき、線分PQの長さが2√6以下になるのは
0≦a≦8
のときである。
また、線分PQの長さは、a=(ウ)のとき最小になり、このとき、2点P , Q とCの頂点で作られる三角形の面積は(エ)√(オ)である。

お願いします。

回答No.1

Dr-Field · ベストアンサー

放物線C : y=x^2+ax+2a-6を平方完成させると、
y=(x+a/2)^2-a^2/4+2a-6なので、頂点の座標は（-a/2、-a^2/4+2a-6）である。なお、-a^2/4+2a-6<0でないと、問題は成立しない。

x 軸の交点P , Qのx座標をそれぞれα、β（但し、α<β）とする。線分PQ＝β－αである。

β－α≦2√6は(β－α)^2≦24と同義である。
(β－α)^2＝{(α+β)^2－4αβ }、解と係数の関係より、α＋β＝-a、αβ＝2a-6だから、(β－α)^2＝{ちょっと中略 }＝a^2-8a+24＝(a-4)^2＋8≦24

(a-4)^2＋8≦24 → (a-4)^2≦16 → -4≦(a-4)≦4 → 0≦a≦8が導かれる。

ところで、線分PQの最小値 → β－αの最小値 → (β－α)^2の最小値 → (a-4)^2＋8の最小値であるから、a=4の時に線分PQは√8、つまり2√2の最小値を取る。

a=4の時、頂点のy座標は-2であるから、求めたい三角形については、底辺＝線分PQ＝2√2、高さ＝2となって、面積は、2√2となる。

お礼

ありがとうございました☆