2次関数の問題です。数Iレベルです。

質問

２次関数の問題です。 頂点が（P,Q)の放物線Y=（X－P)２乗+Pが点（2,3）を通り、
頂点は直線Y=3ｘ-1上にある。ただしＰ＜1とする。
P,Qの値と、放物線とｘ軸との交点のｘ座標は？ という問題です。

いろいろと、やってみたのですが、放物線の式が、平方完成された式なのかも？
はてなです。すみませんが、やさしい回答をお待ちしております。

回答No.2

KEIS050162

最初の　ｙ　＝　（　ｘ　－　Ｐ　）＾２　＋　Ｐ　がどうも間違っていますね。　（最後の＋Ｐ　は　＋Ｑの間違え）

二次方程式の頂点が【　Ｐ、　Ｑ　】である放物線の、　平方完成された式が、

ｙ　＝　（　ｘ　－　Ｐ　）＾２　＋　Ｑ　　となります。　　　（平方完成の基本形です）

この放物線のＰ、　Ｑを求めるには、与えられた二つの条件からＰ、Ｑだけの式を二つ作り連立方程式となります。

条件１　点【２、３】を通る。　⇒　ｘに２、ｙに３を代入する。

３　＝　（　２　－　Ｐ　）＾２　＋　Ｑ
これを整理して、
Ｐ＾２　－　Ｐ　＋　Ｑ　＋　１　＝　０　　…　（１）

条件２　頂点が、ｙ　＝　３ｘ　－　１　を通る。　⇒頂点【Ｐ、Ｑ】を代入する。
Ｑ　＝　３Ｐ　－　１　…　（２）

後は、（１）（２）の連立方程式を解いて、Ｐ、Ｑを求めます。具体的にはＱをＰで表して、Ｐの二次方程式とします。
これを解いて得られた二つの解のうち、条件３　Ｐ　＜　１　にあてはまる方が求める答えとなります。

ここからは出来ますよね？

次に、ｘ軸との交点ですが、上で求めたＰ、Ｑを最初の平方完成した式に代入し、放物線の式を完成します。
後は、ｙ＝０と置いて、ｘについての二次方程式を解けば良いだけです。

出来れば、Ｐ、Ｑを頂点とする放物線のグラフを描いてみると、もっと良く分りますよ。（交点は二つ出て来るはずです。）

ご参考に。

お礼

回答ありがとうございます。入力間違いすみませんでした。
みなさん、やさしく回答していただき感謝しております。

回答No.1

tomokoich

放物線y=(x-p)^2+qが点(2,3)を通るので
3=(2-p)^2+q---(1)
放物線の頂点(p,q)がy=3x-1上にあるので
q=3p-1---(2)
(2)を(1)に代入すると
3=(2-p)^2+3p-1
3=4-4p+p^2+3p-1
p^2-p=0
p(p-1)=0
p<1よりp=0,q=-1
よって放物線の式はy=x^2-1
なのでx軸との交点のx座標はy=0の時
0=x^2-1で
x^2=1
x=±1
になりますね

お礼

わかりやすい回答ありがとうございました。
今度は一人で解いてみます。