問題の解答方法を教えて下さい！

質問

問題の解答方法を教えて下さい！
5時間考えましたがさっぱりです…時間の無駄だったと思い落ち込んでます

問題

放物線 y=x^2+px+q の頂点が直線 y=(-1/2)x-3 上にあるとき、次の問いに答えよ

(1) qのとりうる値の範囲を求めよ。

(2) 放物線 y=x^2+px+q が原点を通過するとき、頂点の座標を求めよ。

(3) 放物線 y=x^2+px+q がx軸と異なる2点で交わり、かり、その2点間の距離が2であるとき、頂点の座標を求めよ。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

典型的な高校数学で難しい内容を持っているのではなく、ポイントはキーワードの数式化につきます。

放物線のy=x^2+px+q頂点→(-p/2,q-p^2/4)

直線 y=(-1/2)x-3 上にある→q-p^2/4=(-1/2)(-p/2)-3　　　　(1)

ここまでは反射神経的に出てくるように訓練するのが受験勉強です。

試験場でものを考える暇はありません。

(1)より

q=p^2/4+p/4-3　　　　　　　　　　　　　(2)

後はこの条件を適宜運用していくだけの話、基本的に反射神経の範疇です。

問題
(1)

q=p^2/4+p/4-3=(1/4)(p^2+p)-3=(1/4)(p+1/2)^2-49/16 (3)

pには条件はないので

q≧-49/16

(2) 放物線 y=x^2+px+q が原点を通過するとき→q=0

式(3)より

(1/4)(p+1/2)^2-49/16=0

p=-1/2±7/2=3,-4

頂点(-p/2,q-p^2/4)＝(-3/2,-9/4),(2,-4)

(3)

放物線 y=x^2+px+q がx軸と異なる2点で交わり→D>0

その2点間の距離が2→2根をα,βとすると|β-α|=2

D=p^2-4q>0 (4)

|β-α|=2

(β-α)^2=(β+α)^2-4αβ=p^2-4q=4 (5)

(5)は(4)を満たしている。(2)と(5)を連立して

p=8,q=15

頂点(-p/2,q-p^2/4)=(-4,-1)

回答No.1

Cupper-2

グラフ・・・描いてみましたか。

　y=x^2+px+q
と
　y=(-1/2)x-3

をそれぞれ描いてみましょう。
とりあえずｐの値は１、ｑの値は０で！（※後述）

数字を弄るだけでは問題は解けません。
特に問題を解けないようなときには、目に見えるような状態にして
アタリを付けて試すようにいくつかの可能性を読み取りましょう。

・・・って、既にグラフを描いて考えていたのでしたら、

　　　諦 め る

っていうのも選択肢の１つです。
こればかりは直感（閃き）に頼った解き方を身につけないとダメですから。

実際、この手の問題を軽く解く人は、グラフを頭の中で描画しながら解き方を考えているんです。
頭の中で描画できるから“都度変形”して（１）や（２）の問題は計算しなくても
ホイホイ答えられたりします。ちょっと大げさかもしれませんけどｗ
（要は頭の中でグラフを描けるようになりなさいってことね）
慣れるまでは面倒でもグラフを描いて考えるようしましょう。

※とりあえずｐを１、ｑを０としたのは最も表現しやすいからです。

お礼

ありがとうございます！参考になりました！