高校の数学です。

質問

写真のように、AB=9、BC=10、CA=6の△ABCがあり、∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。点Aを通り点Dで辺BCに接する円と、2辺AB、ACとの交点をそれぞれE、Fとする。ただし、E、FはAと異なる点とする。また、線分ADとEFの交点をGとする。

(キ)、(ツ)については、当てはまるものを、次の０～６のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

0、AC 1、AD 2、AE 3、AF 4、CD 5、DF 6、EG

(1) BD=(ア)であり、BD^2=(イ)BEが成り立つから、BE=(ウ)である。
また、CD=(エ)より、CF=(オ)/(カ)である。

(2) EF:BC=(キ):ABとなるから、EF=(ク)(ケ)/(コ)である。

(3) 面積の比は、
△AED:△ADC=(サ):(シ)
△ADC:△DFC=(ス):(セ)
となるから、△AED:△DFC=(ソ)(タ):(チ)である。

(4) △ADE∽△A(ツ)より、AD=√(テ)(ト)である。

解答が分からないので誰か教えて下さい。

途中の求め方もお願い致します。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

(1) BD=(ア)であり、BD^2=(イ)BEが成り立つから、BE=(ウ)である。
また、CD=(エ)より、CF=(オ)/(カ)である。
＞
CD/BD=(10-BD)/BD=6/9からBD=6・・・（ア）
BD^2=BE*BA(方べきの定理)BA*・・・（イ）
BE=BD^2/BA=36/9=4・・・（ウ）
CD=10-BD=10-6=4・・・（エ）
CD^2=CF*CA(方べきの定理)
CF=CD^2/CA=16/6=8/3・・・（オ)/(カ）
(2) EF:BC=(キ):ABとなるから、EF=(ク)(ケ)/(コ)である。
＞
AF/AE=(AC-CF)/(AB-BE)=(6-8/3)/(9-4)=(10/3)/5=2/3=6/9=AC/AB
よって△ABC∽△AEF、AB/BC=AE/EF、EF:BC=AE:AB、（キ)=2
EF=BC*AE/AB=10*(AB-BE)/9=10(9-4)/9=50/9・・・(ク)(ケ)/(コ)
(3) 面積の比は、
△AED:△ADC=(サ):(シ)
△ADC:△DFC=(ス):(セ)
となるから、△AED:△DFC=(ソ)(タ):(チ)である。
＞
△AED/△ABD=5/9、△ABD/△ADC=6/4=3/2、△ABD=(3/2)△ADC
よって△AED=(5/9)△ABD=(5/9)(3/2)△ADC=(5/6)△ADC
△AED/△ADC=5/6、△AED:△ADC=5:6・・・(サ):(シ)
△ADC/△DFC=6/(8/3)=18/8=9/4、△ADC:△DFC=9:4・・・(ス):(セ)
△AED/△DFC={(5/6)△ADC}/{(4/9)△ADC}=(5/6)(9/4)=45/24=15/8
△AED:△DFC=15:8・・・(ソ)(タ):(チ)
(4) △ADE∽△A(ツ)より、AD=√(テ)(ト)である。
＞
△ABC∽△AEFより∠AFE=∠ACD
∠AFE=∠ADE(円周角の定理)、よって∠ACD=∠ADEから
△ADE∽△ACD、(ツ)=4
AD/AE=AC/AD、AD^2=AE*AC=5*6=30、AD=√30・・・(テ)(ト)

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

info22_

(1)　∠Aに2等分線定理を適用して
BD/CD=AB/AC=9/6=3/2
BD=BC(BD/BC)=10(BD/(BD+CD))=10/(1+(CD/BD))=10/(1+(2/3))=30/5=6 ...(ア)
方べきの定理より
BD^2=BA*BE → (イ)=AB または BA
36=9*BE → BE=4 ... (ウ)

CD=BC-BD=10-6=4 ...(エ)
方べきの定理より
CD^2=CA*CF
16=6CF → CF=16/6=8/3 →(オ)/(カ)

(2) △AEF∽△ABCなので相似比より
EF:BC=AE:AB=(キ):AB　→　(キ)=AE
EF=BC(AE/AB)=10(AB-BE)/AB=10(9-4)/9=50/9　←　(ク)(ケ)/(コ)

(3)
△AED:△ADC=(AE/AB)△ABD:△ACD=(5/9)BD:CD=((5/9)3:4=5:12 ← (サ):(シ)
△ADC:△DFC=AF:CF=(AC-CF):CF=(6-(8/3)):(8/3)=10:8=5:4 ← (ス):(セ)
△AED:△DFC=(AE/AB)△ABD:(CF/AC)△ACD
=(5/9)△ABD:((8/3)/6)△ACD=(5/9)BD:(4/9)CD=6(5/9):4(4/9)
=30:16=15:8 ←　(ソ)(タ):(チ)

(4) △ADE∽△AFG∽△ACD ← △A(ツ)より (ツ)=CD
AD/AE=AC/AD
AD^2=AC*AE=6*5=30
AD=√30　←　√(テ)(ト)

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

suko22

△ＡＢＣにおいて点Ｄは∠Ａの二等分線であるから、
ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣ（角の二等分線の性質）
よって、ＢＤ：ＤＣ＝9：6

ＢＤ＝10×9/15＝6・・・答え

方べきの定理より、
ＢＤ＾2＝ＢＥ・ＢＡ
　　　　＝9ＢＥ・・・答え

ＣＤ＝10-6＝4・・・答え

方べきの定理より、
ＣＤ＾2＝ＣＦ・ＣＡ
4＾2＝6ＣＦ
ＣＦ＝8/3・・・答え

ＡＥ：ＥＢ＝5：4
ＡＦ：ＦＣ＝10/3：8/3＝5：4
より、ＥＦ//ＢＣがいえる。
だから、△ＡＥＦ∽△ＡＢＣ（∵２角がそれそれ等しい）
よって、ＥＦ：ＢＣ＝ＡＥ：ＡＢ
　　　　ＥＦ：10＝5：9
∴ＥＦ＝50/9・・・答え

△ＡＥＤと△ＡＤＣは∠ＡＥＤ＝∠ＡＤＣ（円と接線の性質）、∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＤ（∠Ａの二等分）より対応する２角がそれぞれ等しいから、△ＡＥＤ∽△ＡＤＣ・・・※

相似な三角形の面積比は、対応する辺の２乗の比に等しいから、
△ＡＥＤ：△ＡＤＣ＝ＡＥ＾2：ＡＤ＾2・・・※1

ここでＡＤの長さを求める。
※から対応する辺の比で等式を作ると、
ＡＥ：ＡＤ＝ＡＤ：ＡＣ
ＡＤ＾2＝ＡＥ・ＡＦ
　　　　＝5×6＝30
よってＡＤ＝√30

※1より、
△ＡＥＤ：△ＡＤＣ＝ＡＥ＾2：ＡＤ＾2
　　　　　　　　　＝5＾2：√30＾2＝25：30＝5：6・・・答え

△ＡＤＣ：△ＤＦＣ＝ＡＣ：ＦＣ（高さが共通でだから辺の比が面積比）
　　　　　　　　　＝6：8/3＝9：4・・・答え

上記の２つの三角形の面積比で△ＡＤＣの数字をそろえる。
△ＡＥＤ：△ＡＤＣ＝5：6＝45：54
△ＡＤＣ：△ＤＦＣ＝54：24

よって、△ＡＥＤ：△ＤＦＣ＝45：24＝15：8・・・答え

△ＡＤＣ∽△ＡＥＣは上記で証明済み。・・・答え
ＡＤ＝√30も上記で導出済み・・・答え

お礼

ありがとうございます。