積分の問題((2)のみ)の解き方を教えて下さい

質問

(1)自然数j,kに対しI(j,k)= ∫[-π→π] sin(jx) sin(kx) dx とする。
I(j,k)の値を求めよ。

(2)定積分
J=∫[-π→π]{x-(a sin x + b sin 2x +c sin 3x )}^2 dx
の値を最小にする実数a,b,cを求めよ。

答えは(1)j≠kのとき0,j=kのときπ(2)a=2,b=-1,c=2/3
なのですが僕はどうやっても(2)が(a,b,c)=(1,-1/2,1/3)となってしまいます。

どうか教えてください。お願いします。

回答No.4

info222_ · ベストアンサー

No.2です。

ANo.1の補足の質問の回答

>∫[-π→π](Σ[k=1→3]pksinkx)^2dx=2π(a^2+b^2+c^2)
>であるから、
間違い。
正しくは
=π(a^2+b^2+c^2)

>J=∫[-π→π](x^2)dx-2∫[-π→π]{Σ[k=1→3]pkxsin(kx)}dx
+∫[-π→π](Σ[k=1→3]pksinkx)^2 dx

>=-2Σ[k=1→3]2π/k pk(-1)^(k-1)+2π(a^2+b^2+c^2)+C (C:定数)
>=2π(a^2+b^2+c^2-2a+b-2c/3)+C
>=2π{(a-1)^2+(b+1/2)^2+(c-2/3)^2}+C

上の3行間違い。正しくは
=(2/3)π^3-2Σ[k=1→3](2π/k) pk(-1)^(k-1)＋π(a^2+b^2+c^2)
=(2/3)π^3+π(a^2+b^2+c^2-4a+2b-4c/3)
=π{(a-2)^2+(b+1)^2+(c-2/3)^2}+(2/3)π^3-(49/9)π

>ゆえにJを最小にするa,b,cの値は
>(a,b,c)=(1,-1/2,1/3)
間違い。正しくは
=(2,-1,2/3)
です。

このとき最小値=(2/3)π^3-(49/9)π=π(6π^2-49)/9

お礼

よく理解できました。(1)の結果から考えれば、すぐに誤りが分かりました。
今回は詳しくありがとうございました(^O^)/

回答No.3

Tacosan

∫[-π→π]xsinkxdx=∫[-π→π]-x/k (coskx)'dx
=2π/k (-1)^(k-1)
とやったところが違う... というか,
∫[-π→π]-x/k (coskx)'dx
から
2π/k (-1)^(k-1)
がどうしてでてくるのかさっぱりわからん.

お礼

∫[-π→π]xsinkxdx
=∫[-π→π]-x/k (coskx)'dx
=2([-x/k coskx](x=π)-[-x/k coskx](x=0)+1/k ∫[-π→π]coskxdx)
=2{(-π/k coskπ +1/k^2 ([sinkx](x=π)-[sinkx](x=0))}
=-2 π/k coskx
=2π/k (-1)^(k-1)
どこが違うのでしょうか？
また∫[-π→π]xsinkxdx正しい計算を教えていただけると幸いです。

補足

∫[-π→π]xsinkxdx
=∫[-π→π]-x/k (coskx)'dx
=2([-x/k coskx](x=π)-[-x/k coskx](x=0)+1/k ∫[-π→π]coskxdx)
=2{(-π/k coskπ +1/k^2 ([sinkx](x=π)-[sinkx](x=0))}
=-2 π/k coskx
=2π/k (-1)^(k-1)
どこが違うのでしょうか？
また∫[-π→π]xsinkxdx正しい計算を教えていただけると幸いです。

回答No.2

info222_

質問者さんの計算間違いをして見えるだけです。
途中計算が書いてないので、どこで間違ったのかチェックできません。

(2)
被積分関数を展開して各項の積分を(1)の結果を使って積分すれば
J=π(a^2-4a)+π(b^2+2b)+π(c^2-(4/3)c)+(2/3)π^3
=π(a-2)^2+π(b+1)^2+π(c-(2/3))^2+(2/3)π^3-(61/9)π

したがって
(a,b,c)=(2,-1,2/3)のとき
最小値=(2/3)π^3-(61/9)π
をとる。

補足

p1=a,p2=b,p3=cとすると
J=∫[-π→π](x-Σ[k=1→3]pksinkx)^2dx
=∫[-π→π]{x^2-2Σ[k=1→3]pkxsinkx+(Σ[k=1→3]pksinkx)^2}dx

ここで
∫[-π→π]xsinkxdx=∫[-π→π]-x/k (coskx)'dx
=2π/k (-1)^(k-1)

∫[-π→π](Σ[k=1→3]pksinkx)^2dx=2π(a^2+b^2+c^2)
であるから、

J=∫[-π→π]x^2dx-2∫[-π→π]Σ[k=1→3]pkxsinkxdx
+∫[-π→π](Σ[k=1→3]pksinkx)^2dx

=-2Σ[k=1→3]2π/k pk(-1)^(k-1)+2π(a^2+b^2+c^2)+C (C:定数)

=2π(a^2+b^2+c^2-2a+b-2c/3)+C

=2π{(a-1)^2+(b+1/2)^2+(c-2/3)^2}+C

ゆえにJを最小にするa,b,cの値は
(a,b,c)=(1,-1/2,1/3)

どこが違うのでしょうか？

回答No.1

Tacosan

その「どうやっても」の具体的な内容を書いてみてください.

補足

p1=a,p2=b,p3=cとすると
J=∫[-π→π](x-Σ[k=1→3]pksinkx)^2dx
=∫[-π→π]{x^2-2Σ[k=1→3]pkxsinkx+(Σ[k=1→3]pksinkx)^2}dx

ここで
∫[-π→π]xsinkxdx=∫[-π→π]-x/k (coskx)'dx
=2π/k (-1)^(k-1)

∫[-π→π](Σ[k=1→3]pksinkx)^2dx=2π(a^2+b^2+c^2)
であるから、

J=∫[-π→π]x^2dx-2∫[-π→π]Σ[k=1→3]pkxsinkxdx
+∫[-π→π](Σ[k=1→3]pksinkx)^2dx

=-2Σ[k=1→3]2π/k pk(-1)^(k-1)+2π(a^2+b^2+c^2)+C (C:定数)

=2π(a^2+b^2+c^2-2a+b-2c/3)+C

=2π{(a-1)^2+(b+1/2)^2+(c-2/3)^2}+C

ゆえにJを最小にするa,b,cの値は
(a,b,c)=(1,-1/2,1/3)

どこが違うのでしょうか？お願いします。