積分の問題です。

質問

テスト勉強中なのですが、解き方、考え方が分からないので教えてください。
∫(Sin^-1 x)dx　が分かりません。
（↑アークサインです）

解答には　x(Sin^-1 x)+√（１－ｘ＾２） と書いてありますが、
途中式が載ってないです。
答えを微分したら確かに問題文の式と一致しました。

この問題の解き方を教えてください、お願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

かなり技巧的な嫌いがありますが、部分積分方を使えということですね。

∫1*arcsin(x)dx=x*arcsin(x)-∫x*{(1-x^2)^(-1/2)}dx
1を積分,後半の積分の中で{arcsin(x)}'=(1-x^2)^(-1/2)を行う。
=x*arcsin(x)+∫(1/2)(-x^2)'*(1-x^2)^(-1/2)dx
=x*arcsin(x)+(1-x^2)^(1/2) +C

また
{arcsin(x)}'も覚えて置かないとできないね。
y=arcsin(x)のy'を求めるには
sin(y)=x
ｘで微分して
cos(y)y'=1
y'=1/cos(y)=1/√{cos^2(y)}=1/√{1-sin^2(y)}=1/√(1-x^2)
∴∫arcsin(x)dx=1/√(1-x^2) +C

回答No.2

alice_38

「解きかた」というか、答えの見つけかた
の話ですよね。
証明としては、解答を微分したら終わり
ですものね。

高校数学でよく教わることですが、
式中で厄介な部分をカタマリと見て
文字で置き換えてしまう…というのは
どうでしょう。

arcsin を嫌って θ = arcsin x としてみると、
与式 = ∫θ(cos θ)dθ となって、
自然に部分積分を使う形になります。