マクローリン展開の問題です

質問

1　指数関数f(x)＝exp(x)＝ezをベキ級数展開（マクローリン展開）で表示しなさい。

2　前記のexp(x)において、ｘが複素数のiθ　の場合、これを代入し、べき乗すれば、右辺の級数の値（複素数）の実部と虚部が求められる。次にsinθとcosθのマクローリン展開を行ない、実部がcosθ、虚部がsinθの展開に一致することを示せ。(オイラーの公式exp(iθ)＝cosθ＋i・sinθが成立することがわかる)。
但し、少なくとも第3項まで書き、あとは・・・でよい。

回答と解説をおねがいします

回答No.3

alice_44

これは、解ける解けないというよりも、
そこに「しなさい」と書かれた作業を
順に実行して、その結果を見て自分で納得する
という種類の課題です。
書かれたとおりに計算するだけですよ。

exp, sin, cos の各マクローリン展開は
解るんでしょうね？
解らないなら、教科書を見れば、
こうやって求めなさいという手順も、
その結果も皆書いてあります。

最後にひとつ注意することは、
exp(iθ) のマクローリン展開を
sinθ の展開と cosθ の展開に分解できる理由は、
exp のべき級数展開が絶対収束することです。
絶対収束する級数だけが、Σ を分割して扱っても
よいからです。

回答No.2

noname#180442

(1)　使っておられるテキストや高校の時の教科書・参考書に書いてないですか。参考までに下記。
　　「高校生のためのマクローリン展開（２）」
　　http://chaosweb.complex.eng.hokudai.ac.jp/~josch/workshop/math/Maclaurin/Maclaurin2.htm

(2)「§1 テーラー展開とマクローリン展開の紹介」とこのまま検索すると、ワード文の解りやすい説明があります。美しいところなので是非ご自分で手計算を。

回答No.1

HIROWI02

高校の基礎知識なので覚えてるか自信がありませんが。

＞＞指数関数f(x)＝exp(x)＝ezをベキ級数展開（マクローリン展開）で表示しなさい。

e…ネイピア数

f(x)＝exp(x)＝ez=e^0+(1/2!)e^0+(1/3!)e^0………

＞＞sinθとcosθのマクローリン展開を行ない、実部がcosθ、虚部がsinθの展開に一致することを示せ。

～正弦関数～

sin(x)=sin(0)+cos(0)x-(1/2!)sin(0)x^2-(1/3!)cos(0)x^3+(1/4!)sin(0)x^4……

　　　=x-(1/3!)x^3+(1/5!)x^5…

～余弦関数～

cos(x)=cos(0)-sin(0)x-(1/2!)cos(0)x^2+(1/3!)sin(0)x^3……+(1/4!)cos(0)x^4……

　　　 =1-(1/2!)x^2+(1/4!)x^4…

よって

exp(iθ)={1-(1/2!)x^2+(1/4!)x^4……}＋ i・{x-(1/3!)x^3+(1/5!)x^5……}

間違っていたらすみません。