積分の問題なのですが解き方が分かりません。

質問

1)はΓ関数を、2）、3）はΒ関数を用いて次の積分を表せ．という問題なのですが、途中の計算が分かりません。何方か分かる方がいらっしゃったら何卒解説をよろしくお願いいたします。

1）∫[0→∞]　　ｘ＾4（1+ｘ＾2）/（1+ｘ）＾12　ｄｘ

2）∫[α→β]　（t-α）^p （β-t）^q　 dt (α＜β、p＞-1、q＞-1)

3) ∫[-π/2→π/2] (1-sinθ)^p　 dθ　（p＞-1/2）

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

1) 被積分関数を部分分数分解し、一旦B関数に置き換えてから、Γ関数で表します。
　x^4(1+x^2)/(1+x)^12=1/(1+x)^6-6/(1+x)^7+16/(1+x)^8-24/(1+x)^9+21/(1+x)^10-10/(1+x)^11+2/(1+x)^12

　∫[x=0→∞] x^4(1+x^2)/(1+x)^12 dx
=∫[x=0→∞] 1/(1+x)^6 -∫[x=0→∞] 6/(1+x)^7 dx+∫[x=0→∞] 16/(1+x)^8 dx-∫[x=0→∞] 24/(1+x)^9 dx+∫[x=0→∞] 21/(1+x)^10 dx -∫[x=0→∞] 10/(1+x)^11 dx+∫[x=0→∞] 2/(1+x)^12 dx
=B(1,5)-6B(1,6)+16B(1,7)-24B(1,8)+21B(1,9)-10B(1,10)+2B(1,11)
　　（∵　B(p,q)=∫[t=0→∞] t^(p-1)/(1+t)^(p+q) dt　）
=Γ(1)Γ(5)/Γ(6)-6Γ(1)Γ(6)/Γ(7)+16Γ(1)Γ(7)/Γ(8)-24Γ(1)Γ(8)/Γ(9)+21Γ(1)Γ(9)/Γ(10)-10Γ(1)Γ(10)/Γ(11)+2Γ(1)Γ(11)/Γ(12)
　　（∵　B(p,q)=Γ(p)Γ(q)/Γ(p+q)　）

　これでΓ関数で表したことになりますが、Γ(1)=1 を使って簡単にすれば、次のようになります。

=Γ(5)/Γ(6)-6Γ(6)/Γ(7)+16Γ(7)/Γ(8)-24Γ(8)/Γ(9)+21Γ(9)/Γ(10)-10Γ(10)/Γ(11)+2Γ(11)/Γ(12)

　ちなみに、これを計算すると　1/1155 と求められ、与式を直接積分した値と一致します。

2) 変数変換　s=(t-α)/(β-α)　を行います。
　　ds=dt/(β-α), t=αのときs=0, t=βのときs=1
　　β-t=(β-α)(1-s)

　∫[t=α→β] (t-α)^p (β-t)^q dt
=∫[s=0→1] (β-α)^p s^p (β-α)^q (1-s)^q (β-α)ds
=(β-α)^(p+q+1) ∫[s=0→1] s^p (1-s)^q ds
=(β-α)^(p+q+1) B(p+1,q+1)
　　（∵　B(p,q)=∫[t=0→1] t^(p-1) (1-t)^(q-1) dt　）

3)　被積分関数の 1-sinθ を次のように変形しておきます。
　　1-sinθ={cos(θ/2)-sin(θ/2)}^2={√2cos(θ/2+π/4)}^2=2{cos(θ/2+π/4)}^2

　変数変換　φ=θ/2+π/4 を行います。
　　dφ=dθ/2, θ=π/2　のとき φ=π/2, θ=-π/2 のとき φ=0
　　1-sinθ=2(cosφ)^2

　∫[θ=-π/2→π/2] (1-sinθ)^p dθ
=∫[φ=0→π/2] 2^p (cosφ)^(2p) 2dφ
=2^p 2∫[φ=0→π/2] (cosφ)^(2p) dφ
=2^p B(p+1/2,1/2)
　　（∵　B(p,q)=2∫[θ=0→π/2] (cosθ)^(2p-1) (sinθ)^(2q-1) dθ ）

お礼

ありがとうございました。とても分かりやすかったです。