複素積分

質問

以下の複素積分ができません。 どなたかおしえてください。

f(x)=(1/2π)∫[-∞～∞] (i/x)exp(ikx) dx (i は複素数)

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

次の4つの経路からなる閉じた経路での積分を考えましょう。
(0<r<Rとします)

(1)実軸上r→Rでの積分
(2)"0"を中心に半径Rの半円R→-R(上半面を反時計回りに半周)での積分
(3)実軸上-R→rでの積分
(4)"0"を中心に半径rの半円-r→r(上半面を時計回りに半周)での積分

(1)～(4)で一周したときの積分の値を求めてください。すぐにわかるはずです。
次にr→0,R→∞とします。
(1)と(3)を足したものが求める積分の値になります。
(2)はよく出てくる形の物で収束値はすぐにわかると思います。
(4)が少しだけ頭を使います。さほど難しくはありません。

回答No.2

rnakamra

#1のものです。

#1の回答はk>0と言う前提で答えています。k<0の場合やkが複素数の場合は成り立ちません。ご注意ください。k<0の場合は(2),(4)の経路を下側に持ってくるとよいでしょう。