学校の積分の問題が解けません。教えてください。

質問

関数f(x,y)=1(0≦x≦1かつ0≦y≦1のとき)， 0(それ以外) と定義するとき
I=∫(0≦x≦1)∫(0≦y≦1){∫(0≦θ≦2π)f(x+cosθ,y+sinθ)dθ}dxdy
の値を求めよ。

回答No.2

noname#199771 · ベストアンサー

見やすいように、u=x+cosθ, v=y+sinθとして、
(x,y,θ)から(u,v,θ)に変数変換します。

あとは、θの積分を一番外側に出し、その区間を
[0,π/2], [π/2,π], [π,3π/2], [3π/2,2π]の4つに分け、
それぞれ0≦u≦1, 0≦v≦1となる条件とu,vのそれぞれの
積分区間とを組みあわせ、fを"外し"ます。

例えば、「0≦θ≦π/2, sinθ≦v≦1, cosθ≦u≦1の上
で定数1を積分」といった感じ。

三重積分が4つでてきますがcosとsinの周期性から1つ
の積分にまとまり、意外とスッキリ計算できます（I>0です）。

この方針にしたがって手を動かしてみてください。

お礼

ありがとうございました。とても助かります。

回答No.4

tmiyoshi

No.1の者ですが、私のは対角腺だけの積分になるので間違えていますよ。

No.2の方の方法で計算してみてください。

多分ですが（また間違ってるかもしれません^^;が)、答えは、

I = 2(π　- 3)

になると思います。

回答No.3

alice_44

要するに、0≦x+cosθ≦1, 0≦y+sinθ≦1 となる(x,y,θ) の体積
を求めろってことだから、三重積分とはいっても、x,y については
積分するまでもなくて、長方形の面積を θ で積分するだけのことだ。

回答No.1

tmiyoshi

間違えているかもしれませんが、

f(θ) = cosθ + θ

と置くと、f'(θ) = -sinθ + 1

従って、0≦f'(θ) となりf(θ)は増加関数

f(0) = 1　なので、1≦f(θ)

従って,与式 = 0

なのではないでしょうか？

お礼

ありがとございます。それで試してみます。