y''+9y=sin(2t)のラプラス変換

質問

ラプラス変換の勉強のため、
http://www.ice.tohtech.ac.jp/~nakagawa/laplacetrans/Laplace6.htm

の問題を少しずつ解いています。しかし、

y '' + 9y = sin(2t) 　ただし y(0) = 1, y'(0) = 0

で足踏みしています。

L[y ''] + 9L[y] = L[sin(2t)]
-y'(0) + s(-y(0) + sL[y]) + 9L[y] = 2^2 / (s^2 + s^2)
L[y](s^2 - s + 9) = 2^2 / (s^2 + s^2)
L[y] = 2^2 / (s^2 + s^2) ・ 1 / (s^2 - s + 9)

ここで、1 / (s^2 - s + 9) をどう分解して良いか分かりません。
どのようにしていけばいいでしょうか？

・1 / ((s + 3) (s - 3) - s)
・1 / ((s + 1)^2 -3s + 8)
・1 / ((s - 2) (s + 1) + 11)
・別の方法

どうぞよろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>L[y ''] + 9L[y] = L[sin(2t)]
>-y'(0) + s(-y(0) + sL[y]) + 9L[y] = 2^2 / (s^2 + s^2) ←×
普通は、L[y(t)] をY(s)と書きます。

s^2*Y(s)-sy(0)-y'(0)+9Y(s)=2/(s^2+4)

>L[y](s^2 - s + 9) = 2^2 / (s^2 + s^2) ←×
Y(s)(s^2+9) -s=2/(s^2+4)
Y(s)=2/{(s^2+4)(s^2+9)}+s/(s^2+9)
=(2/5)/(s^2+4)-(2/5)/(s^2+9)+s/(s^2+9)

以下3行、計算間違いなので質問自体、無意味ですね。
>L[y] = 2^2 / (s^2 + s^2) ・ 1 / (s^2 - s + 9) ←×
>ここで、1 / (s^2 - s + 9) をどう分解して良いか分かりません。
>どのようにしていけばいいでしょうか？

Laplace変換公式を用いて逆変換すると

y(t)=(1/5)sin(2t)-(2/15)sin(3t)+cos(3t)

ここで、1 / (s^2 - s + 9) をどう分解して良いか分かりません。
どのようにしていけばいいでしょうか？

お礼

回答有り難うございます。

-s、うっかりしてました。
計算しなおし、提示された式になることを確認できました。
どうもありがとうございました。

回答No.3

noname#171582

ラプラス変換の微分法則

L[ｙ’’（ｔ）]＝－ｙ’（０）＋ｓL[ｙ’（ｔ）]
も成り立つ。

回答No.2

noname#171582

ラプラス変換の微分法則

L[ｙ’（ｔ）]＝－ｙ（０）＋ｓL[ｙ（ｔ）]
が成り立つ。