ラプラス変換

質問

本によると
sinωt・u(t)　のラプラス変換が
ω/(s^2+ω-2)になっているのですが
これはただの
sinωt　のラプラス変換で
u(t)の影響はどうなってますか？

回答No.3

ringouri

通常の(片側)ラプラス変換では、積分域が0から∞で定義されているので、f(t)のt<0における扱いが曖昧になっています。
定義式からは、f(t)がsinωt・u(t)であろうが、sinωtであろうが、同じラプラス変換 L[f(t)]=F(s)が得られる訳で、確かに？？ですね。

f(t)のt<0における扱いが問題になるのは、推移定理：
L[f(t±τ)]=exp(±τs)L[f(t)]=exp(±τs)F(s)
において、f(t±τ)をどのような関数と理解するか、という場合です。
大抵の教科書に、この注意は記述されていると思いますので、ここでは説明しません。

結論的には、F(s)=ω/(s^2+ω^2)に対応するf(t)は sinωt ではなくて、
sinωt・u(t)だと理解する方が、より理論の整合性があることになります。（ラプラス変換の理論内部の整合性およびフーリエ変換の理論との関係など。）

回答No.2

guuman

ラプラス変換は
通常片側変換で行われる
これは欠陥変換であり
δ（ｔ）関数ですらｔ＝０をどうするか問題になる
よりよい変換は
両側ラプラス変換であり
これを使う場合には
u(t)を掛けるのである
両側変換は公式がきれいになりすっきりする
左側にどこかの時点から物事が始まる関数
または
左側に急減少な関数
であることを前提とするだけでよいので
これからは両側変換を使うべきだ
ｔ＝０が始まりにすると
公式は汚くなるし
０始まりに時間シフトをしなければならないようになる
ただし答案用紙やレポート用紙には
「両側」の接頭語をつけなければならない

回答No.1

foobar

u(t)はt<0で0，t>0で1の関数．
これをかけると,t<0で0になります．
が，ラプラス変換の式を見ると，元々0<t<∞で積分しているので，t<0である値になっていても，0になっても変換した結果には影響しません．