sin(ωt+θ) のラプラス変換

質問

sin(ωt+θ) のラプラス変換を教えてください！
よろしくお願いします。

回答No.3

info22

#1です。

f(t)=sin(wt+θ)={1/(2j)}[exp{j(wt+θ)}-[exp{-j(wt+θ)}]
L{f(t)}={1/(2j)}exp(jθ)∫[0,∞]e^-(s-jw)tdt
-{1/(2j)}exp(-jθ)∫[0,∞]e^-(s+jw)tdt
={1/(2j)}{exp(jθ)/(s-jw)-exp(-jθ)/(s+jw)}
={1/(2j)}{(cosθ+jsinθ)/(s-jw)-(cosθ-jsinθ)/(s+jw)}
={1/(2j)}[cosθ{1/(s-jw)-1/(s+iw)}+jsinθ{1/(s-jw)+1/(s+jw)}]
=cosθ*w/(s^2+w^2)+sinθ*s/(s^2+w^2)
=(w cosθ+s sinθ)/(s^2+w^2)
回答者さんのやった計算と比較してみてください。

以上はラプラス変換の定義式しか使っていませんのでsin(wt)やcos(wt)のラプラス変換の公式を覚えていなくてもできるやり方です。

なお、
#2さんのやり方はsin(wt)とcos(wt)のラプラス変換の公式を覚えていないとできない方法ですね。覚えていれば簡単ですが。。。

お礼

なるほどぉ！！
わかりやすい回答ありがとうございます！
お手数をおかけしました。
これで先に進めます！！

回答No.2

spring135

ラプラス変換をＬであらわすと
L(sin(ωt+θ))=L(sinωtcosθ+cosωtsinθ)
=cosθL(sinωt)+sinθL(cosωt)
=cosθ(ω/(s^2+ω^2))+sinθ(s/(s^2+ω^2))
=(ωcosθ+ssinθ)/(s^2+ω^2)

です。

お礼

お早い回答ありがとうございます！
sin(ωt+θ)=sinωtcosθ+cosωtsinθ
となるのですか！
でも何でこうなるのでしょうか？

回答No.1

info22

ヒント)

ラプラス変換の定義式に
f(t)=sin(wt+θ)={1/(2i)}[exp{j(wt+θ)}-[exp{-j(wt+θ)}]
を代入してやればできませんか？

お礼

お早い回答ありがとうございます！
f(t)=sin(wt+θ)={1/(2i)}[exp{j(wt+θ)}-[exp{-j(wt+θ)}]
難しいです・・・
がんばってみます！