平面幾何

質問

平行四辺形ABCDを考えます。
ABをk:(1-k)に内分する点Pを取り、PCを1:2に内分する点Qをとり、AQの延長戦とBCの交点をRとおきます。
三角形RQCと三角形ABCの面積比が1:10の時、kの値を求める問題です。

回答を見ると、三角形ABCの面積をSとする時、
(1)三角形PBC=(1-k)S、三角形QBC=2/3(1-k)S、
(2)故に三角形QRC=1/3(1-k)S、よってk=7/10

、となっていますが、
(1)→(2)がどうやっても計算できません。

AQ:QRとAR:RCを求めてkの値を算出したりもしたのですが、計算間違いをしているのか、k=7/10にはなりませんでした。
どなたか、解説をお願いいたします。

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

三角形ABCにメネラウスの定理を適用して
(CR/BR)*(AB/AP)*(PQ/QC)=1
よってCR/BR=(AP/AB)*(QC/PQ)=(k/1)(2/1)=2k、CR=(2k)BR
(三角形QRC)/(三角形QBC)=CR/BC=(2k)BR/{(1+2k)BR}=2k/(1+2k)
三角形QRC=(三角形QBC)*2k/(1+2k)=4k(1-k)S/3(1+2k)
(三角形QRC)/S=4k(1-k)/3(1+2k)=1/10より40k^2-34k+3=0
k={34±√(34^2-4*40*3)}/80=(34±√676)/80=(34±26)/80
からk=3/4及びK=1/10・・・答え
(平行四辺形の傾きによって２解あるのではないかな？)

お礼

私の答えと同じですね…
問題か、答えが間違っているのだと考えます。
ありがとうございました

補足

私の答えと同じですね…
問題か、答えが間違っているのだと考えます。
ありがとうございました。

回答No.2

ferien

△ＱＲＣでなく△ＰＢＱの間違い、ということはないでしょうか？
△ＰＢＱなら、（１）の説明と繋がります。

回答No.1

hiro822

k=3/4,1/10に見えますね。

補足

解答が怪しい可能性もあると思っています。
(他の問題で、明らかな誤答を載せてもいるので…)