△ＯＡＢにおいて、辺ＯＡを２：３に内分する点をＰ，

質問

△ＯＡＢにおいて、辺ＯＡを２：３に内分する点をＰ，辺ＯＢを３：１に内分する点をＱ，ＡＱとＢＰの交点をＲとする。

(1)→ＯＲを→ＯＡ＝→a，→ＯＢ＝→bを使って表せ。

私は、点RがPB上、AR上にあるからと考えて、→BR=k→BP、→AR=t→AQと考えてみました。

しかし、答えは(7→a/13)+(9→b/26)になってしまいます。模範解答は(→a/7)+(9→b/14)です。
私の考え方のどこが間違っていたか教えてください。また、出てきた答えが何を表しているのか教えてください。

回答No.5

178-tall

「読みかえ」と、その「連立解」をメモ。

　m = (1-n)(2/5)
　(1-m)(3/4) = n
　　　　↓
　t = (1-k)(2/5)
　(1-t)(3/4) = k

下式を上式へ代入して、
　t = { 1 - (1-t)(3/4) }(2/5)
　= (2/5) - (1-t)(3/10)
　　　　↓
　(7/10)t = 1/10
　t = 1/7
(これを下式へ入れて、k = 9/14 を得る)

回答No.4

178-tall

ANo.3 への補足。

> … 点RがPB上、AR上にあるからと考えて、→BR=k→BP、→AR=t→AQと考えてみました。

このコメントを見過ごしてた。
ANo.3 の m を t 、n を k と読みかえてみてくだされ。

回答No.3

178-tall

題意から、
　OP = (2/5)OA = (2/5)a
　OQ = (3/4)OB = (3/4)b

QA, PB 上のベクトルはおのおの、
　OQ + mQA
　OP + nPB
と表せる。

QA = OA-OQ = a - (3/4)b, PB = OB-OP = b - (2/5)a なので、
　(3/4)b + m{ a - (3/4)b }
　(2/5)a + n{ b - (2/5)a }
と表せ、a と b とは一次独立だろうから、QA と PB の交点にて、
　ma + (1-m)(3/4)b
　(1-n)(2/5)a + nb
とは一致するだろう。

つまり、両表現にて a, b の係数は一致するはずで、
　m = (1-n)(2/5)
　(1-m)(3/4) = n
が成立。
これを解いて、m = 1/7, n = 9/14 を得る。

回答No.2

info222_

メネラウスの定理
(OP/PA)(AR/RQ)(QB/BO)=1
(2/3)(AR/RQ)(1/(1+3))=1
AR/RQ=(3/2)(4/1)=6/1

RはAQを6:1に内分する点であるから
→OR=(1→OA+6→OQ)/(6+1)=(1/7)→OA+(6/7)→OQ

OQ/OB=3/(3+1)=3/4 より
→OR=(1/7)→OA+(6/7)(3/4)→OB
=(1/7)→OA+(9/14)→OB

∴→OR=(→a/7)+(9→b/14)

模範解答の方が合ってますね。

回答No.1

f272

> 私の考え方のどこが間違っていたか教えてください。

考え方は別におかしくない。計算を間違っただけではないですか？

> また、出てきた答えが何を表しているのか教えてください。

さて何と答えればいいのだろう。出てきた答えはベクトルORを表していてOAとOBの線形結合になっている。係数は正であって，係数の和は1より小さいので，Rは三角形OABの内部にあることがわかる。