中学校幾何の証明

質問

あるサイトに、「対角線ＡＣとＢＤの交点をＯとし、辺ＡＢ上の任意の点Ｐと点Ｄを結び、対角線ＡＣとの交点をＱとおく。線分ＢＱと線分ＰＯの交点をＲとし、直線ＡＲと辺ＢＣの交点をＭとおく。このとき、点Ｍは、辺ＢＣの中点である。」とあり、
「チェバの定理により、
ＡＰ／ＰＢ×ＢＳ／ＳＯ×ＯＱ／ＱＡ＝１（ＳはＢＯとＡＭの交点）
メネラウスの定理により、　
ＡＰ／ＰＢ×ＢＤ／ＤＯ×ＯＱ／ＱＡ＝１
よって、
ＢＳ／ＳＯ＝ＢＤ／ＤＯ＝２　　　　
このことから、Ｓは線分ＢＯを、２ ： １ に内分する点である。
△ＡＢＣにおいて、点Ｏは辺ＡＣの中点であるので、Ｓは△ＡＢＣの重心となる。
したがって、中線ＡＳと辺ＢＣの交点であるＭは、辺ＢＣの中点となる。」
と証明も書いてあったのですが、ＢＳ／ＳＯ＝ＢＤ／ＤＯ＝２になる理由と、Ｓが△ＡＢＣの重心となる理由が分かりません。非常に分かりにくい説明になってしまいましたが、どなたかご解答お願いします。

回答No.2

age_momo · ベストアンサー

これは四角形ABCDの条件が何か抜けていませんか？
解説の途中で

>ＢＳ／ＳＯ＝ＢＤ／ＤＯ＝２
>△ＡＢＣにおいて、点Ｏは辺ＡＣの中点である

から四角形ABCDは平行四辺形であることを前提にしていると思います。
それを前提にして、

チェバの定理とメネラウスの定理から次式が導かれるのはいいですね。

>ＡＰ／ＰＢ×ＢＳ／ＳＯ×ＯＱ／ＱＡ＝１
>ＡＰ／ＰＢ×ＢＤ／ＤＯ×ＯＱ／ＱＡ＝１

この両式を見比べれば

ＢＳ／ＳＯ＝ＢＤ／ＤＯ

ここでOはBDの中点ですからＢＤ／ＤＯ=2
が成立しているのだと思います。
次に三角形の重心についてですが、三角形のある辺の中点と向かい合う頂点を結んで
２：１に内分する点は重心になります。重心の重要な性質の一つです。だからΔABCに
おいてOがACの中点でBS:SO=2:1ならSはΔABCの重心です。

もう一度、書きますが、ACとBDがそれぞれの中点で交わる四角形(平行四辺形)でないと
この証明は成立しないと思います。

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math2/sansin.htm

お礼

＃１に書いた補足のの通り四角形ＡＢＣＤは長方形でした。ご解答を読むと納得できました。ありがとうございました。

回答No.1

zk43

四角形ABCDは任意ですか？
それとも平行四辺形とか？

補足

条件を忘れていました。四角形ＡＢＣＤは長方形です。