中学数学の幾何の問題です。助けてください。

質問

中学数学の問題です。至急お願いしたいです。何度も考えても答えがわかりません。

すみませんが、ご回答よろしくお願いします。
四角形ＡＢＣＤがあり、ＡＤとＢＣは平行でないものとする。
対角線ＡＣとＢＤの交点Ｐ，ＰからＡＤと平行な線を引きＡＢとの交点をＱ，
ＱからＢＣと平行な線を引き、ＡＣとの交点をＲ、
ＲからＡＤと平行な線を引き、ＣＤとの交点をＳとし、ＳとＰを結びます。
このとき、次の問いに答えなさい。

(１)四角形ＰＱＲＳは平行四辺形であることを証明しなさい。
(２)三角形ＰＤＡ、ＰＡＢ、ＰＱＲの面積がそれぞれ１０、１５、６であるとき、
三角形ＰＢＣ，ＰＣＤの面積をそれぞれ求めなさい。

回答No.1

MagicianKuma · ベストアンサー

とりあえず(1)のみ
平行を//で表します。線分ABの長さを|AB|のように表します。
方針：|QP|=|RS|導きます
三角形ABDに着目して、AD//QP　より　|AD|:|QP|=|AB|:|QB| よって　|QP|=|AD||QB|/|AB|
|QB|=|AB|-|AQ|を代入して |QP|=|AD|(|AB|-|AQ|)/|AB|=|AD|(1-|AQ|/|AB|) ---(1)
三角形ABCに着目して、QR//BC　より　|AB|:|AQ|=|AC|:|AR| よって　|AQ|/|AB|=|AR|/|AC|
(1)に代入して　|QP|=|AD|(1-|AR|/|AC|)=|AD|(|AC|-|AR|)/|AC| |AC|-|AR|=|RC|を代入して
|QP|=|AD||RC|/|AC| ---(2)
三角形ACDに着目して、RS//AD　より　|AC|:|RC|=|AD|:|RS| よって　|RS|=|RC||AD|/|AC|
(2)式の右辺と一致するから、|QP|=|RS|
ADとBCが平行でないから、QPとQRは平行でないのでPとRが一致することはない。一方RS//QPで|RS|=|QP| よって点PQRSは四角形を成し、平行四辺形である。

お礼

わかりやすいご説明ありがとうございます。