中学生の幾何の問題で

質問

塾で講師のバイトをしてるのですが、一つだけどうしてもわからない
問題があるのでどうか教えてください。

平行四辺形ＡＢＣＤの辺ＣＤ上の点Ｅを通って、対角線ＢＤに平行に
引いた直線と辺ＡＤの延長との交点をＦとし、直線ＡＥと辺ＢＣの
延長との交点をＧとすれば、四角形ＤＥＧＦの面積は平行四辺形
ＡＢＣＤの面積の半分に等しい事を証明せよ。

奈良県の某有名私立中学の期末テストの問題なのですが、まだ中１
で相似を習っていないので出来れば相似を使わない解法で
お願いしますｍ（＿）ｍ

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

平行線と比の関係を使って計算で強引に出せばもちろん出ますが，
それは実質的に相似と同じ話になるでしょうから，そうでない解を示します．
少々技巧的になるのはやむを得ないのではないでしょうか．

[証]
平行四辺形ABCDの面積をSとする．
ΔACD＝(1／2)S　・・・（１）
ADを底辺とみると　ΔACD＝ΔAGD＝(1／2)S

ΔACD＝ΔACE＋ΔAED　・・・（２）　と分けて考える．

まず
ΔACE＝ΔDEG・・・（３）
である．
（∵ΔACE＝ΔACD－ΔAED＝(1／2)S－ΔAED
　　であり，一方　ΔDEG＝ΔAGD－ΔAED＝(1／2)S－ΔAED）

よって，あとは　ΔAED＝ΔDGF　を示せばよいが，
それは等積変形により以下のように示される．

ΔAED＝ΔBED　　(∵DEを底辺とみて　AB//DE より)
　　＝ΔBFD　　(∵BDを底辺とみて　BD//EF より)
　　＝ΔDGF　　(∵DFを底辺とみて　DF//BG より)
よって　ΔAED＝ΔDGF　・・・（４）　が示せた．

以上　（１）～（４）より
平行四辺形DEGF＝ΔDEG＋ΔDGF＝ΔACE＋ΔAED＝ΔACD＝(1／2)S
よって題意は示された．
[証明おわり]

お礼

やっぱこういう風に解くんですか。その生徒の使ってるテキストに
似た問題があったのでそれで解くんだなとなんとなく見当はつけてたの
ですがどう活用したらいいのかよくわからなかったんです。
ありがとうございました。

回答No.3

kony0

平行線による三角形の等積変形だけで。
AD//CG より △ACE=△DGE

よって、あとは△AED=△GFDを示せばよい。

△AED=△BED (AB//DE) = △BFD (BD//EF) = △GFD (DF//BG)

ちなみに、△ACE=△DGE は、△ACG=△DCG を言ったあと、両辺から△ECGを引く、というプロセスを踏むべきかもしれません。

お礼

やはり面積の等しい問題って等積変形をよく使って解かなきゃ
いけないんですね。最初は三角形の合同ばっかり考えてたので
全くこんな回答思いつきもしなかったのですが。ありがとうございます。

回答No.2

weasel

既に回答出てしまっていますが解けて嬉しかったので書きます。（図がないので分りにくいかもしれませんが）

ＣＤ：ＥＤ＝ｘ：（１－ｘ）
また、平行四辺形ＡＢＣＥの面積を１とします。
そうすると三角形ＡＥＤの面積は
平行四辺形ＡＢＣＤの（１－ｘ）／２

次に三角形ＡＦＧを考えます。
底辺が同じで高さが同じならその面積は等しくなるので
三角形ＡＦＧと三角形ＡＦＣの面積は等しくなります。
三角形ＡＦＣは三角形ＡＤＣと三角形ＤＦＣからなります。
三角形ＡＤＣは平行四辺形と比べると１／２
またここで直線ＥＦと辺ＢＣとの交点をＨとすると
条件より三角形ＤＦＣと三角形ＢＨＡの面積は等しくなります。
ここから相似を使わないといけないのですが工夫したら使わない方法もあるかもしれません。
条件より
ＣＥＢ∽ＣＤＢ
これによりＣＥ：ＥＤ＝ＣＨ：ＨＢ
それを使い平行四辺形と三角形ＤＦＣの面積の比を求めると（１－ｘ）／２
以上より平行四辺形を１とすると三角形ＡＦＧは
１／２＋（１－ｘ）／２
四角形ＤＥＧＦは三角形ＡＦＧ－三角形ＡＥＤ
つまり
１／２＋（１－ｘ）／２－（１－ｘ）／２＝１／２
となる。

お礼

こんな解き方もあるんですね。ありがとうございます。
多少タイピング間違いと思われるトコロもありますが（￣▽￣；
なんとかわかりました。勝手な解釈ですけど
上から３行目はＣＤ：ＥＤじゃなくてＣＥ：ＥＤですよね？
あと４行目は平行四辺形ＡＢＣＥじゃなくてＡＢＣＤだと
思って回答を見せてもらいました。