数学：軌跡の問題

質問

「P(x,y)と原点の距離をF、x＝3との距離をHとする。H/F=2のとき、Pの軌跡を求めよ。」

この問題をどのような手順で軌跡を求めていけばよいのか、分かりません。自分なりに調べてみたものの自信を持って解答までたどり着けませんでした。

上記の問題を詳しく解説していただければ、幸いです。どうか、よろしくお願いいたします。

回答No.4

yyssaa · ベストアンサー

F^2=x^2+y^2
H=3-x
H/F=2=(3-x)/√(x^2+y^2)
3-x>0・・・(ア)
4(x^2+y^2)=(3-x)^2=9-6x+x^2
3x^2+6x+4y^2=9
x^2+2x+(4/3)y^2=3
(x+1)^2+(4/3)y^2=4
{(x+1)/2}^2+(y/√3)^2=1・・・(イ)
(イ)は長軸の長さが4、短軸の長さが2√3、両軸の交点が(-1,0)の
楕円であり、この楕円上の点は全て(ア)の条件を満たす。よって、
Pの軌跡は(イ)で表される楕円となる。

お礼

回答ありがとうございました。

条件も提示していただき、軌跡の問題の解答方法の重要な点が理解できるような解答で、非常に参考になりました。

回答No.5

ferien

ANo.1です。ANo.3さんへ　

ｘ＝３の上の点の座標は、（３，ｙ）ということになると思いますが、
このｙは、Ｐ（ｘ，ｙ）のｙと一致すると考えればいいのでしょうか？
Ｐ（ｘ，ｙ）が変われば、ｘ＝３上の点の座標も変わります。
定点でなければいけないような気がしたので、（３，０）としましたが、
考えが足りませんでした。

Ｐの軌跡は、だ円と言うことでいいと思います。

お礼

ご親切な回答ありがとうございました。補足説明もしていただき、非常に感謝しております。

回答No.3

marsha110

No.2の訂正です。
(7)式でb^2とするべきところを、No.2の回答でbにしてしまいました。

また、ferienさんの回答は、x=3との距離を点(3,0)との距離としていますが、y座標はいくらでも取れるので、そこは誤りだと思います。

P(x,y)とすると
F=OP=√(x^2+y^2)....(1)
H=|x-3|.............(2)
H/F=2よりH=2*F......(3)
(1)式と(2)式を(3)式に代入して、両辺を二乗すると
(|x-3|)^2=4*(x^2+y^2).....(4)
(4)式を整理すると
3*x^2+6*x+4*y^2=9.......(5)

(5）式を数学的に意味ある形に変形します。
ここからは、テクニックです。

3*(x^2+2*x)+4*y^2=9
3*{(x+1)^2-1}+4*y^2=9
3*(x+1)^2+4*y^2=12
(x+1)^2/(1/3)+y^2/(1/4)=12

(x+1)^2/4+y^2/3=1.....(6)
楕円の一般的な式は
x^2/a^2+y^2/b^2=1.....(7)

(6)式と(7)式を比較すれば、点Pの軌跡が何であるかわかるでしょう。
最後は、質問者のほうで考えてください。

お礼

ご丁寧な回答と解説ありがとうございました。指針も教えてくださって非常に参考になりました。

回答No.2

marsha110

P(x,y)とすると
F=OP=√(x^2+y^2)....(1)
H=|x-3|.............(2)
H/F=2よりH=2*F......(3)
(1)式と(2)式を(3)式に代入して、両辺を二乗すると
(|x-3|)^2=4*(x^2+y^2).....(4)
(4)式を整理すると
3*x^2+6*x+4*y^2=9.......(5)

(5）式を数学的に意味ある形に変形します。
ここからは、テクニックです。

3*(x^2+2*x)+4*y^2=9
3*{(x+1)^2-1}+4*y^2=9
3*(x+1)^2+4*y^2=12
(x+1)^2/(1/3)+y^2/(1/4)=12

(x+1)^2/4+y^2/3=1.....(6)
楕円の一般的な式は
x^2/a^2+y^2/b=1.....(7)

(6)式と(7)式を比較すれば、点Pの軌跡が何であるかわかるでしょう。
最後は、質問者のほうで考えてください。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

ferien

＞「P(x,y)と原点の距離をF、x＝3との距離をHとする。H/F=2のとき、Pの軌跡を求めよ。」
Ｐから原点までの距離Ｆ^2＝ｘ^2＋ｙ^2
Ｐからｘ＝３（３，０）までの距離Ｈ^2＝（ｘ－３）^2＋ｙ^2

Ｈ／Ｆ＝２より、（Ｈ／Ｆ）^2＝２^2より、Ｈ^2＝４Ｆ^2だから、
（ｘ－３）^2＋ｙ^2＝４（ｘ^2＋ｙ^2）
ｘ^2－６ｘ＋９＋ｙ^2＝４ｘ^2＋４ｙ^2
３ｘ^2＋６ｘ－９＋３ｙ^2＝０
ｘ^2＋２ｘ－３＋ｙ^2＝０
（ｘ^2＋２ｘ＋１）＋ｙ^2＝１＋３
よって、
（ｘ＋１）^2＋ｙ^2＝４
Ｐの軌跡は、中心（－１．０）半径２の円

でいいのではないでしょうか？

お礼

最も早い回答ありがとうございました。