数学II(現行) 軌跡の問題

質問

いつも御世話になっております。今年もまた暫く御世話になると思いますが宜しくお願い致します。

数学IIの軌跡の問題です。教科書の基礎的な問題だと思いますが、解答が無いのと、軌跡の問題に慣れていないのとで、筋違いとは思いますが質問させて下さい。

問「直線2x+y+1=0と点Ａ(3、1)がある。点Qがこの直線上を動くとき、線分AQを2:1に内分する点Pの軌跡を求めろ」
一応やってみたので、御指摘下さると嬉しいです。

点Qの座標を(x1,y1)、内分点Pの座標を(x,y)として…

点Qは直線y=-2x-1…I(与式の変形)上にあるから、Iは、y1=-2x1-1…II

点Pは、線分AQを2:1に内分する点であるから、公式より

x=3+2・x1/3 y=1+2・y1/3。

よってQの座標は、
(3x-3/2,3y-1/2)。 ※見にくかったらすいません

これをIIに代入して整理すると、

y=-2x+5/3…III

例の逆算的証明は省きます。方眼で書いてみたら、誤差はありますが、軌跡はIIIになると思います。多分……

アドバイスいただけると助かります。また、これと決まった証明方法が無いのが軌跡の問題の難しいところだと思いますが(積み重ねの成果的な感じからか)、軌跡の問題について何かしらのコツがあれば、アドバイスいただけると嬉しいです

回答No.2

chamiken · ベストアンサー

こんばんは。長文回答失礼いたします。

１．まず、dormitory様のご回答について

答えは合っています。解き方も問題ありません。

私は模試の採点バイトをやっていたことがありますが、
間違っている箇所がないため、この回答ならば満点がもらえますよ。
ただ、細かい点を言えば、
点Ｑの座標をx1、y1と置いている点は、記号数が増えてしまううえ、
置くことでさほどメリットがないのであまりお勧めしません。
あと、
こちらはネット上だけの問題ですが、
分数はどの部分が分母でどの部分が分子かがわかるように
正確に記載するよう注意すると良いと思います。
今回のように、x=3+2・x1/3と書かれてしまいますと、
「/3」は「2・x1」にしか掛かっていないと読まれてしまう危険があります。
「(3+2・x1)/3」と書くのが丁寧でわかりやすいと思います。
質問文が回答者に誤って判断されてしまうと誤った回答につながり、
回答者にも質問者にも良くないので、ご注意を！

２．次に、今回のような問題における楽な解き方

直線上を動く点Ｑと定点Ａとを結ぶ直線を内分する点Ｐの軌跡の問題。
求める軌跡は必ず直線を描き、かつ、必ず点Ｑの直線と同じ傾きになります。
つまり、今回の問題では、
点Ｑがy=-2x-1とわかった時点で、点Ｐの軌跡の傾きも-2とわかります。
点Ａが(3,1)なので、点Ｑの式にx=3を代入して(3,-7)。
(3,1)と(3,-7)を2:1に内分する点は簡単に(3,(-13/3))と求まります。
これで傾きと通る点が求まったのですから、簡単に答えに辿りつけますよね？
なぜ同じ傾きになるのかについては、
相似の概念を思い浮かべて頂ければわかるかと思います。

３．最後に、軌跡の解き方へのアドバイス

私が家庭教師等で生徒さんに言っていたのは、
計算を始める前に、まず大体のグラフを描いてイメージを掴むこと。
dormitory様が添付されているグラフの、もっと簡単なもので大丈夫です。
答えが求まった際にそのグラフを見て、
「あ、合ってそう」「あれ、計算間違いをしたかな」
ということがわかるからです。
また、
どういう問題の時に軌跡が直線になり、
どういう問題の時に軌跡が放物線や円になるのかを覚えていくこともできます。
さらに、
センター試験や入試では答えしか要求されないケースも少なからずあり、
そのようなケースでは基本通りの公式に当てはめていくよりも
大体のグラフから軌跡が直線か円か等を判断し、
通る点をいくつか求めてそこから答えを導いてしまう方が
大幅な時間短縮につながることが多いです。
ご質問の問題においても、
もし２で書かせて頂いた内容をご存じない場合でも、
大体のグラフから傾きが-2の直線だと判断できれば、時間短縮が図れます。

問題丸投げの質問が多い中で、こんなに丁寧な質問に出会って、
びっくりして回答が長くなりすぎました。すみません、ご容赦を。

お礼

いえいえ。丁寧なご回答に感謝です。

なから人生かけてますので(笑)。とはいえ教科書の例題を猿真似して解いた視野の狭さには少し落胆してしまいました。まだ、引出しと引出しから選んで使いこなす力が不足してるのだと痛感しました。

別解も参考になりました。

ありがとうございました。

回答No.1

Har-mo-nize

分数の書き方（分子の範囲がはっきりするように括弧などを用いて書いてください。）や、
例）x=3+2・x1/3 　⇒ x=(3+2x1)/3
例）y=1+2・y1/3。 ⇒ y=(1+2y1)/3

無用な式変形「点Qは直線y=-2x-1…I(与式の変形)上にあるから、Iは、y1=-2x1-1…II」があること
（(3x-3/2,3y-1/2)を求めたら、直接「直線2x+y+1=0」に代入すればよいです。）

など気になる点はありますが、大まかな論理の流れは悪くないと思います。
無論、答えも合っています。

なお、この問題はある固定点と動点とを結んだ線分の内分点（外分点もそうですが）の軌跡ですので、相似を利用して求めることができます。
この方法は動点が複雑な動きをするときに簡単化して考えることができるので覚えておくとよいと思います。

内分点の軌跡は、固定点を相似の中心として、動点を拡大（または縮小）したものです。
ですので、動点が直線上を動けば、内分点も直線上を動きます。
このとき直線2x+y+1=0上の代表的な2点（例えば、(3,-7),(-1,1)）の内分点が(3,-13/3),(1/3,1) であることから、直線の方程式を求めることができます。

お礼

解りやすいアドバイスと、表記の御指摘ありがとうございました！

簡単な解法にもハッとさせられました。もっと視野広げます。

ありがとうございました