軌跡の問題です

質問

不等式(x+y-3)(2x-y+4)≧０の表す領域内にあって
x+y-3=0,2x-y+4=0の2直線から等しい点の軌跡を求める問題なのですが

私はまずその軌跡は直線であると思ったので
２直線の交点を求め、次に適当にｙ＝２で条件を満たす満たすｘを求め
条件を満たす直線の方程式を出しました。

このような手順に間違いはあるのでしょうか？

また、どのような手順で回答するのが模範解答となるでしょうか？

回答よろしくお願いします。

回答No.3

oshiete_goo · ベストアンサー

|x+y-3|／√(1^2+1^2)＝|2x-y+4|／√(2^2+1^2)
⇔√5|x+y-3|＝√2|2x-y+4|
⇔√5(x+y-3)＝±√2(2x-y+4)・・・（１）

以下，２本とも出すのなら，
⇔√5(x+y-3)－√2(2x-y+4)＝0，√5(x+y-3)＋√2(2x-y+4)＝0
別々に計算して
(√5-2√2)x＋(√5+√2)y－3√5-4√2=0・・・（２）
および
(√5+2√2)x＋(√5-√2)y－3√5+4√2=0・・・（３）
などとなりそう．(必要に応じて有理化など整理)
でも確かに結構面倒です．

さて，今の場合，（１）で話が違って来て，
＞不等式(x+y-3)(2x-y+4)≧０の表す領域内にあって
という条件で絞る必要があります．

原点(0,0)は　f(x,y)=(x+y-3)(2x-y+4) の負領域にある(つまり原点は条件を満たさない)ことより，原点を代入して成り立たない方の符号を選んでも良いのですが，素直にやるならば，
f(x,y)=(x+y-3)(2x-y+4) の正領域にある適当な点，例えば(3,1)を採って，（１）式のうちで点(3,1)を代入して成り立つ方の符号を選びます．今の場合だと，実は＋の方なので，（２）の方が適するハズ．

ただし，角の２等分線に注目すれば，他にも解答は可能で，最近の関連質問を引用すると，２直線の交点を通ることまでは良いとして，あとは傾きだけの問題なので，例えば
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=475839
がご参考になるのではないでしょうか．

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=475839

回答No.2

misa24

>私も最初そうやったのですが絶対値をどうやってはずせば良いのか分らなかったのですが。
>（両辺を二乗していいのですか？）

２乗してもよいですが、かなり計算がややこしくなると思います。
一般に　|A|＝|B| なら、A＝プラスマイナスB
となります。A＝B、またはA＝－B。

お礼

解けました。
回答ありがとうございます。

回答No.1

oshiete_goo

図形的には２直線のなす角を２等分する直線ですね．
そういう説明をしたあとでなら，特殊な点を使って具体的に求めれば良いです．
ただし，直線になることも含めて説明（証明）しようとすれば，
条件を満たす任意の点を(x，y)とおいて，２直線x+y-3=0,2x-y+4=0への距離が等しいという条件より，点と直線の距離の公式を使って
|x+y-3|／√(1^2+1^2)＝|2x-y+4|／√(2^2+1^2)
を整理するのがラクでしょう．

ただし，２つ出て来る(互いに直交)もののうち，条件を満たす方を今は採ります．
（普通は２つとも解ですね．）

お礼

早速回答を頂きありがとうございます。

私も最初そうやったのですが絶対値をどうやってはずせば良いのか分らなかったのですが。
（両辺を二乗していいのですか？）