高校数学、軌跡

質問

（問題）
ｘｙ平面上に2直線
L1：mx-y=0,L2:ｘ+my-2=0があり、この2直線の交点をPとする。
（１）Pが全実数を動く時のPの軌跡を求めよ。

（２）ｍが全ての正の実数を動くときのPの軌跡を求めよ。
（問題集の解答）
P(X,Y)とおく、L1,L2の式からX,Yをｍで表すと、
X=２／（ｍ＾２＋１）(1)、Y=２ｍ／（ｍ＾２＋１）(2)
(1)(2)で与えられる（X,Y)の軌跡を求める。
いきなりｍを消去するのは難しいので、一度(2)／(1)を計算し、ｍについて解くと、
Y／X=m(3)。これを(1)に代入すると、X=２／｛（Y／X)＾２＋１｝(4)
よって、Ｘ｛（Y／X)＾２＋１｝＝２(5)
さらに、両辺にＸをかけると、Ｘ＾２+Y^2=２Ｘ(6)かつＸ≠０(7)となる。
また、(6)は(6)⇔（Ｘ－１）＾２＋Ｙ＾２＝１である。
（１）(6)かつ(7)よりＰの軌跡は（ｘ－１）＾２＋ｙ＾２＝１かつｘ≠０
（２）ｍの範囲がｍ＞０に限定されているから(3)について

Y／X＞０⇔ＸＹ＞０(8)
（１）かつ(8)が求める軌跡である。
（疑問）
（a)(2)／(1)を計算したのが(3)ですが、ここでなぜＸ≠０という制限を付けないのでしょうか?
（b)(5)の両辺にＸをかけるところでＸ≠０という制限が付くのはなぜでしょうか？

回答No.5

mitoneko · ベストアンサー

Ｎｏ．４補足あてです。
　それで、ＯＫかと思います。
　ちなみに、（１）の解答では、Ｘ≠０は、必須ですね。軌跡を描くためのＸの値域に関わりますので。

お礼

ありがとうございました

回答No.4

naniwacchi

こんばんわ。

＞いきなりｍを消去するのは難しいので、
＞一度(2)／(1)を計算し、ｍについて解くと、Y／X=m(3)。
模範解答で「難しいので」という表現を使うのは、なんか変な気もしますが・・・
(ちょっと口語すぎる)

頭の中での考え方としては、この内容でいいのですが、わたしなら
　mがすべての実数を取りうるとき X≠0であるから、(2式)÷(1式)より Y/X= m (3式)

と書いてしまいます。
ちなみに、すべての実数：mに対して、0＜ X≦ 2、-1≦ Y≦ 1の範囲を取ることは、
ちょっとした計算で確認できます。

もとからX≠0の条件が抜け落ちてしまうのは論外ですが、
もし求められた軌跡の式に X=0が含まれないのであれば、
わざわざ X≠0を書く必要はないと思います。
どちらかというと、求めた軌跡の式に X=0が含まれていたので、その除外は忘れないでね。という流れ(考え)で書いていると解釈した方がいいと思います。

図形的には、L1の「傾き：m」が無限大になるとき(y軸に平行となるとき)を表しています。
当然、傾きを連続的にどんどん大きくしていったときの極限なので、連続的に除外すべき点が現れてくる。すなわち、軌跡内に除外すべき点が現れてくる。
と考えるのが普通だと思います。

あくまでも、「解答」は考えを整理したものであって「清書しなおした」ものです。
解答では唐突に現れているように見えても、実際にはそこに書かれていないような考えも背景にはあるわけです。その「行間」を読めるようになれば、しめたもんです。

回答No.3

mitoneko

＞(1)より、ｍが実数値をとるとき、Ｘが０になることはないのはわかります。
(3)でＹ／Ｘをしている時に、そのことを確認しないとＸで割る行為はしてはならないのではないでしょうか？

　この論証を読んでいると、まさに、その通りです。
　Ｘ≠０の検証は、（３）の計算をする前にする必要があります。
　仮に、（１）でｍが実数であれば、Ｘ≠０は自明のことで有り触れる必要すら無いとするのであれば、（７）も必要ありません。（ちなみに、この「Ｘ≠０は自明のことだから触れない」というのは正しい論証の姿ではありません。自明にしても、「（１）のＸの定義より自明である」と一言書くべきです。）
　そして、末尾近くになって、またＸ≠０に触れる必要が出てくるとなると・・・確かに、結果は正しいかも知れませんが、数学の論証としては、×をつけておきましょうか（苦笑）

　ちなみに、世の中にあるインチキ証明のいろいろにおいて、さりげなく０で割ると言うのはごまかしの基本です（笑）（例えば、０＝１とか１＋１＝１とかね。０割りをさりげなくやると、こんな等式も証明できます。）

　数学の論証というのは、条件に条件を重ねて厳密に導くのが基本ですから、あなたの疑問は正しい疑問です。
　「割る数は０であってはならない」というのは、割り算における演算の条件ですから、この場合は、（３）の時点で証明しなければならない事項です。

　３連打の質問の全てにおいて、どうも、問題集の解答に厳密さが足りない・・・というか、そういう印象を受けます。総じて、あなたの疑問の方が正しい姿だと思います。（平易な言葉で説明するというのと、厳密さを損なうというのは、数学では別次元の問題です。どんなに平易に説明しても厳密さは損なってはいけないのが数学というものです。緊急避難として、「「＊＊＊の定理」というのがある。でも証明は非常に難しいからここでは述べない。」というのがまぁ、最大の妥協点ですね。）

　本題の疑問に対する直接の答え。
　（ａ）　Ｘ≠０を検証していないのが「間違い」です。この時点で、この問題集の解答は×（苦笑）
　（ｂ）　最後に、この条件が効いてくるのに、ここまでＸ≠０に触れなかったのを思いだしたものだから、あわてて、ここで触れたんです。そんな書き方、間違ってますけどね。

補足

結論的には(3)の時点でＸ≠０を確認しておき、(5)では何も触れる必要はなし。最後の求める軌跡の部分で、ｘ＝０の部分を省く。ということをいれる必要があるということでしょうか？

回答No.2

asuncion

つまり、(1)式より
Xが0にならないことは自明であるから、
わざわざX≠0と書かなくてもよい、ということです。

補足

(1)より、ｍが実数値をとるとき、Ｘが０になることはないのはわかります。
(3)でＹ／Ｘをしている時に、そのことを確認しないとＸで割る行為はしてはならないのではないでしょうか？
また、(5)から(6)でＸ≠０としてありますが、両辺にＸをかけるから確認せねばならないのではなく、Ｘが分母になっているから確認をし、最後の軌跡の部分から省かなければならないと理解しているのですが、その考えは違うのですか?

回答No.1

asuncion

＞なぜＸ≠０という制限を付けないのでしょうか?

＞X=２／（ｍ＾２＋１）(1)

Xは0にならないからです。