等式・不等式条件と値の範囲

質問

a + b = c + d, |a - b| > |c - d|　（a,b,c,dは実数）のとき
a,b,c,dの満たす条件と、ab - cd のとり得る値を求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44

a+b=c+d から
a^2+2ab+b^2=c^2+2cd+d^2.
|a-b|>|c-d|≧0 から
a^2-2ab+b^2>c^2-2cd+d^2.
辺々引き算して、
-4ab>-4cd.
よって、ab-cd<0.

上記の変形によって、連立式は
a+b=c+d,
ab-cd=r,
r<0.
へ同値変形されたことになる。

これを満たす各 r について
対応する a,b,c,d が存在することは
ほぼ自明であるが、確認したいなら
c,d を任意に与えて、a,b を解に持つ方程式
x^2-(a+b)x+ab=0 が実数解を持つことを
示してみればいい。
判別式 = (a+b)^2 - 4ab
= (c+d)^2 - 4(r+cd)
= (c-d)^2 - 4r.
r<0 なら、これは正である。

回答No.2

noname2727

a+b=c+dから
a^2+2ab+b^2=c^2+2cd+d^2
⇔a^2+b^2=c^2+d^2+2(cd-ab)

|a-b|>|c-d|から
a^2-2ab+b^2>c^2-2cd+d^2
⇔c^2+d^2+2(cd-2ab)>c^2-2cd+d^2
⇔ab-cd<0

ab-cdの取りうる値はこの条件からでは判断できないかと思います。
また、a,b,c,dの満たすべき条件って上の等式と不等式で与えられている以外には何もないかと思います。少なくとも、この問題分から読み取れるのはこのくらいではないでしょうか？

回答No.1

alice_44

両式とも、両辺を二乗してみれば、
ab - cd の範囲は解かる。

＞ a,b,c,dの満たす条件
って、何を意図しているんだろうね？