条件つきの等式

質問

a+b+c=0のとき、
(1)a^2+b^2+c^2+2(bc+ca+ab)=0
(2)a^2-bc=b^2-ca=c^2-ab
という証明問題なのですが、やり方が思いつかないので教えてください。
a^2はaの２乗という意味です。

回答No.1

springside · ベストアンサー

この手の問題は、地道にやれば解けます。

(1)a+b+c=0より、c=-a-bなので、
a^2+b^2+c^2+2(bc+ca+ab)
=a^2+b^2+c^2+2{c(a+b)+ab}
=a^2+b^2+(-a-b)^2+2{(-a-b)(a+b)+ab}
=a^2+b^2+a^2+2ab+b^2+2(-a^2-2ab-b^2+ab)
=2a^2+2ab+2b^2-2a^2-2ab-2b^2
=0

(2)
a^2-bc=b^2-caの証明：
左辺-右辺=0を示す。
a^2-bc-(b^2-ca)
=a^2-bc-b^2+ca
=(a^2-b^2)-bc+ca
=(a+b)(a-b)+c(a-b)
=(a-b)(a+b+c)
=0 （∵a+b+c=0)
以下同様です。

お礼

ありがとうございます。力不足を痛感します。
これからは自分でやれるよう頑張っていく次第です。